Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{-x}\left(2-\frac{e^x}{{\sin }^{2}x}\right)$

Biết ${\int }_0^3\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx=\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3$, 

trong đó a,b,c là các số nguyên. Tính  T = a + b + c

Cho $\int f\left(4x\right)dx=x^2+3x+C$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Kết quả tính $\int 2x\ln (x-1)dx$ bằng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2, y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$ và trục hoành như hình vẽ.

Biết ${\int }_1^e\frac{\ln x}{{\left(1+x\right)}^2}dx=\frac{a}{e+1}+b\ln \frac{2}{e+1}+c, Với a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, Tính a+b+c

Cho (T) là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích V của (T) biết rằng khi cắt (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, $0\le x\le 1$,ta được thiết diện là tam giác đều có các cạnh bằng $\sqrt{1+x}$

 Cho $I={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sin x{\cos }^{2}xdx$, khẳng định nào sau đây đúng?

 Cho tích phân $I={\int }_0^3\frac{x}{1+\sqrt{x+1}}dx và t=\sqrt{x+1}$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho $I={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{2x+m}}$, m là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của m để $I⩾1.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $y=x\sqrt{4+x^2}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1. Biết $S=a\sqrt{5}+b,\left(a,b\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right)$. Tính a + b

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = $x^3$ , y = 10 - x và trục Ox là:

Cho hình phẳng H  (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục Ox  được tính theo công thức nào dưới đây?

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Biết rằng ${\int }_0^{\ln 2}f\left(e^x+1\right)dx=5$ và ${\int }_2^3\frac{\left(2x-3\right)f\left(x\right)}{x-1}dx=3$. Tính $I={\int }_2^{3}f\left(x\right)dx$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x\ln x$, trục Ox và đường thẳng x = e  

Tìm họ nguyên hàm $F\left(x\right)=\int \frac{1}{{(2x+3)}^3}dx$