Giải thích vì sao nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x₀ thì x₀ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Cho hàm số y = f(x) = |x|.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$.

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức s(t) = t³ – 9t² + 15t, t ³ 0. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại và cực tiểu? Giải thích.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$.

a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) = 0.

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + 2. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

b) Tính đạo hàm N'(t) và $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số

b) y = −x³ + 2x² – 5x + 3.

c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: