Ta có s(t) = t³ – 9t² + 15t.

Có v(t) = s'(t) = 3t² – 18t + 15.

Chất điểm chuyển động sang phải khi v(t) > 0.

Có v(t) > 0 $\iff \left[\begin{array}{l}t<1\\ t>5\end{array}\right.$ và v(t) < 0 $\iff$ 1 < t < 5.

Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).

Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).

a) Hàm số đồng trên khoảng (0; +∞).

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0).

Hàm số y = x³ – 3x² + 2 đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

a) +) Với x < −1, ta có y' = −1 < 0.

+) Với x > 1, ta có y' = 1 > 0.

Nhận xét:

+ Với x ∈ (−∞; −1), ta có y' < 0 thì hàm số nghịch biến.

+ Với x ∈ (1; +∞), ta có y' > 0 thì hàm số đồng biến.

b) Với x ∈ (−1;1) ta có y' = 0 thì hàm số y không đổi.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −2x + 2.

y' > 0 với x ∈ (−∞; 1) và y' < 0 với x ∈ (1; +∞).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

a) Có f'(x) = 3x² – 6x + 2.

f’(x) = 0 Û 3x² – 6x + 2 = 0 Û $\left[\begin{array}{l}x=\frac{3-\sqrt{3}}{3}\\ x=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$.

c) Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{3-\sqrt{3}}{3};\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)$.

a) s(t) = t³ – 9t² + 15t.

Có v(t) = s'(t) = 3t² – 18t + 15.

b) Có v(t) > 0 $\iff \left[\begin{array}{l}t<1\\ t>5\end{array}\right.$ và v(t) < 0 $\iff$ 1 < t < 5.

Chất điểm chuyển động sang phải khi t ∈ (0; 1) và (5; +∞).

Chất điểm chuyển động sang trái khi t ∈ (1; 5).

Từ đồ thị ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và y_CĐ = y(−1) = 5.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = y(1) = 1.

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = x² – 6x + 8.

Có y' = 0 $\iff$ x² – 6x + 8 = 0 $\iff$ x = 4 hoặc x = 2.

c) Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và y_CĐ = y(2) = $\frac{23}{3}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = y(4) = $\frac{19}{3}$.

Ta có nếu hàm số f(x) có một cực trị tại x = x₀ thì đạo hàm của hàm số đó f'(x) tại x = x₀ phải bằng 0 hoặc không tồn tại.

Nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x₀ có nghĩa là f'(x) không chuyển từ dương sang âm hoặc ngược lại khi đi từ một phía của x₀ sang phía khác. Điều này có nghĩa là f'(x) không đạt đến giá trị 0 tại x = x₀. Do đó x₀ không thể là một điểm cực trị.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có h'(t) = −9,8t + 24,5; h'(t) = 0 Û $t=\frac{5}{2}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có tại thời điểm $t=\frac{5}{2}$ thì vật đạt độ cao lớn nhất là $\frac{261}{8}$

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = x² – 4x + 3.

Hàm số đồng biến khi y' > 0 $\iff$ x² – 4x + 3 > 0 $\iff$ $\left[\begin{array}{l}x<1\\ x>3\end{array}\right.$.

Hàm số nghịch biến khi y' < 0 $\iff$ x² – 4x + 3 < 0 $\iff$ 1 < x < 3.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞); nghịch biến trên khoảng (1; 3).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −3x² + 4x – 5

$\begin{array}{l}=-3\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)-5\\ =-3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+\frac{4}{3}-5\\ =-3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{11}{3}<0,\forall x\end{array}$

Do đó hàm số luôn nghịch biến.

a) Tập xác định của hàm số là ℝ\{−2}.

Có $y^{\text{'}}=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{5}{{\left(x+2\right)}^2}>0,\forall x\ne -2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên cách khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

a) Tập xác định của hàm số là D = [−2; 2].

Có $y^{\text{'}}=\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$ ; y' = 0 Û x = 0.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 2).

a) Số dân vào năm 2000 (t = 0) của thị trấn đó là: $N\left(0\right)=\frac{25.0+10}{0+5}=2$ nghìn người.

Sau 15 năm kể từ năm 2000 số dân của thị trấn đó là: $N\left(15\right)=\frac{25.15+10}{15+5}=19,25$.

Vậy số dân của thị trấn đó vào năm 2015 là 19250 người.

b) Có $N^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{25\left(t+5\right)-\left(25t+10\right)}{{\left(t+5\right)}^2}=\frac{115}{{\left(t+5\right)}^2}$;

$\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{25t+10}{t+5}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{25+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=25$.

Vì N'(t) > 0, ∀t do đó hàm số N(t) là hàm đồng biến hơn nữa $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)=25$ do đó dân số của thị trấn đó sẽ không vượt quá 25 nghìn người.

Dựa vào đồ thị của hàm y = f'(x), ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau

a) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (2; 4) và (6; +∞).

b) Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và x = 6.

Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

b) Theo định nghĩa, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x₀ nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) và x ≠ x₀ .

Ở đây, x₀ = 0. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(0) với mọi x ∈ (– h; h).

Với mọi x ∈ (– h; h), ta có |x| < h.

Mà |x| > 0, với mọi x ≠ 0. Do đó f(x) = |x| > 0 = f(0), với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ 0.

Vậy ta chứng minh được rằng với mọi x ∈ (– h; h) và x ≠ x₀, f(x) > f(0). Điều này chứng tỏ rằng hàm số có cực tiểu tại x = 0.