Cho một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; $x=\pi$, biết rằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(0\le x\le \pi \right)$ cắt vật thể theo thiết diện là một tam giác đều cạnh $2\sqrt{\sin x}$. Thể tích của vật thể đó là:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1], f(0) = 1, f(1) = –1, tính $I={\int }_0^1{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx.$

Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left(1+x\right)\cos 2xdx=\frac{1}{a}+\frac{\pi }{b}$ (a,b là các số nguyên khác 0). Giá trị của tích a.b bằng:

Hàm số $y=\frac{x}{2}+\frac{\sin 8x}{16}$ là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và F(x) là một nguyên hàm của f(x), biết ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx=9$ và F(0) = 9.

Cho ${\int }_0^{6}f\left(x\right)dx=12$. Tính ${\int }_0^{2}f\left(3x\right)dx$.

Giả sử log 2 là 0,3010. Khi viết 2¹⁰⁰⁰ trong hệ thập phân ta được một số có bao nhiêu chữ số?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và cắt trục hoành tại điểm x = c (như hình vẽ). Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Tìm nguyên hàm $I=\int \frac{dx}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) = 3 – 5sin x và f(0) = 10. Kết luận nào sau đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1;2], f(1) = 1 và f(2) = 2. Tính $I={\int }_1^2{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

Cho hàm số f(x) liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Biết F’(x) = f(x), $\forall x\in \left[-5;2\right]$ và ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)dx=\frac{14}{3}$. Tính F(2) – F(5).

Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \left|x+\sqrt{x^2+1}\right|$. Tính ${\int }_0^1{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

Số thực a để phân tích ${\int }_0^a\left(x^2-3x+2\right)dx$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [0;2], f(0) = 1 và ${\int }_0^2{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=-3$. Tính f(2).

Cho các số thực a, b khác không. Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{a}{{\left(x+1\right)}^3}+bx{e}^x$ với mọi x khác –1. Biết f’(0) = –22 và ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=5$. Tính a + b?