Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$ Khi đó $\int \frac{f\text{'}\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx$ bằng

Biết ${\int }_1^{2}x\ln (x^2+1)dx=a\ln 5+b\ln 2+c$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P = a + b + c.

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0; x=\mathrm{\pi }$ Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ $x (0\le x\le \mathrm{\pi })$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng sinx+2 

Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left(P\right): y=x^2$, tiếp tuyến với (P) tại M(2;4) và trục hoành. Tính diện tích của hình phẳng (H)?

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+3\sin x+2}dx=a\ln 2+b\ln 3$ với a, b. c là số nguyên. Tính P = 2a + b.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và hàm số $y=g\left(x\right)=xf\left(x^2\right)$ có đồ thị trên đoạn [0;2] như hình vẽ. Biết diện tích miền tô màu là $S=\frac{5}{2}$ tính tích phân $I={\int }_1^{4}f\left(x\right)dx$

Cho đồ thị $\left(C\right): y=\sqrt{x}$ Gọi M là điểm thuộc (C), A(9;0). Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giứi hạn bởi (C), đường thẳng x = 9 và trục hoành; S₂ là diện tích tam giác OMA. Tọa độ điểm M để S₁ = 2S₂ là:

Tích phân ${\int }_1^2{e}^{2x}dx$ bằng

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ quay xung quanh trục Ox.  

Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=1, {\int }_2^{3}f\left(x\right)dx=4$ Tính ${\int }_0^3\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Biết $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in [-5;2]$ và ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)dx=\frac{14}{3}$ Tính F(2)-F(-5).

Trong không gian (Oxyz), cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x=a và x=b (b>a) Gọi S(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với $a\le x\le b$ Giả sử hàm số y=S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó, thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\ln 2x}{x^2}$

Cho hình trụ có trục OO', bán kính đáy r và chiều cao $h=\frac{3r}{2}$ Hai điểm M, N di động trên đường tròn đáy (O) sao cho OMN là tam giác đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (O’MN). Khi M, N di động trên đường tròn (O) thì đoạn thẳng OH tạo thành mặt xung quanh của một hình nón, tính diện tích S của mặt này

Nếu $I={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin 2x}}dx=\frac{a}{b}\ln c, (a,b,c\in Z)$ thì a+2b+3c là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ là