Câu hỏi:
17/07/2024 123
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:
OA = OC (giả thiết)
\(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)
OB = OD (giả thiết)
Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).
Suy ra AB = DC và \(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) hay \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).
Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:
OA = OC (giả thiết)
\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (hai góc đối đỉnh)
OD = OB (giả thiết)
Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).
Suy ra AD = BC và \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\) hay \(\widehat {CAD} = \widehat {ACB}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.
Do đó, AC = BD.
Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:
AB = DC (chứng minh trên)
AD: cạnh chung
BD = AC (chứng minh trên)
Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA}\).
Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {CDA} = 180^\circ \) (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)
Do đó: \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
Xét ∆OAB và ∆OCD ta có:
OA = OC (giả thiết)
\(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)
OB = OD (giả thiết)
Do đó, ∆OAB = ∆OCD (c – g – c).
Suy ra AB = DC và \(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) hay \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).
Xét ∆OAD và ∆OCB ta có:
OA = OC (giả thiết)
\(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (hai góc đối đỉnh)
OD = OB (giả thiết)
Do đó, ∆OAD = ∆OCB (c – g – c).
Suy ra AD = BC và \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\) hay \(\widehat {CAD} = \widehat {ACB}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.
Do đó, AC = BD.
Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:
AB = DC (chứng minh trên)
AD: cạnh chung
BD = AC (chứng minh trên)
Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA}\).
Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {CDA} = 180^\circ \) (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)
Do đó: \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.24, biết rằng AC = BD và \(\widehat {DBA} = \widehat {CAB}\).
Chứng minh rằng AD = BC.
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.24, biết rằng AC = BD và \(\widehat {DBA} = \widehat {CAB}\).
Chứng minh rằng AD = BC.
Câu 2:
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
Câu 3:
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.25, biết rằng \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\) và \(\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\).
Chứng minh rằng ∆ABC = ∆ABD.
Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.25, biết rằng \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\) và \(\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\).
Chứng minh rằng ∆ABC = ∆ABD.
Câu 4:
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
∆AED = ∆BEC.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
∆AED = ∆BEC.
Câu 5:
Cho hai tam giác ABC và DEF bất kỳ, thỏa mãn AB = FE, BC = DF, \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\). Những câu nào dưới đây đúng?
a) ∆ABC = ∆DFE.
b) ∆BAC = ∆EFD.
c) ∆CAB = ∆EFD.
d) ∆ABC = ∆EFD.
Cho hai tam giác ABC và DEF bất kỳ, thỏa mãn AB = FE, BC = DF, \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\). Những câu nào dưới đây đúng?
a) ∆ABC = ∆DFE.
b) ∆BAC = ∆EFD.
c) ∆CAB = ∆EFD.
d) ∆ABC = ∆EFD.
Câu 6:
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
AD song song với BC.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
AD song song với BC.
Câu 7:
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
AB song song với DC.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
AB song song với DC.
Câu 8:
Cho hai tam giác ABC và MNP bất kì, thỏa mãn \(\widehat {ABC} = \widehat {PNM}\), \(\widehat {ACB} = \widehat {NPM}\) và BC = PN. Những câu nào dưới đây đúng?
a) ∆ABC = ∆PNM.
b) ∆ABC = ∆NPM.
c) ∆ABC = ∆MPN.
d) ∆ABC = ∆MNP.
Cho hai tam giác ABC và MNP bất kì, thỏa mãn \(\widehat {ABC} = \widehat {PNM}\), \(\widehat {ACB} = \widehat {NPM}\) và BC = PN. Những câu nào dưới đây đúng?
a) ∆ABC = ∆PNM.
b) ∆ABC = ∆NPM.
c) ∆ABC = ∆MPN.
d) ∆ABC = ∆MNP.
Câu 9:
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \[\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\]. Chứng minh rằng:
\(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\).
Câu 10:
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).
Trên hai cạnh AC và DF lấy hai điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc \(\widehat {ABC}\) và \[\widehat {DEF}\]. Chứng minh rằng: BP = EQ.
Câu 11:
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
∆ACD = ∆CAB.
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
∆ACD = ∆CAB.
Câu 12:
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng AM = DN.
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng AM = DN.
Câu 13:
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng ∆ABC = ∆DEF.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng ∆ABC = ∆DEF.
Câu 14:
Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.
Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.