Câu hỏi:

21/07/2024 12,501

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AMH^=AON^ .

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). (ảnh 1)

a) Ta có:

OBA^= 90° (AB là tiếp tuyến của (O)).

OCA^= 90° (AC là tiếp tuyến của (O)).

Xét tứ giác ABOC có OBA^ + OCA^ 90° + 90° = 180°.

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

NAB^ là góc chung.

ANB^=ABM^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM  ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra  AMAB=BMNBAB.BM = AM.NB (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có OBA^ = 90° suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra OKM^=OKA^= 90° dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM  ∆ANB (cmt) nên ta có: ABAN=AMAB

Û AB2 = AM.AN.

Mà ta cũng có AB2 = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM.AN = AH.AO Û AMAO=AHAN.

Xét ∆AMH và ∆AON có:

OAN^ là góc chung

AMAO=AHAN (cmt)

Suy ra ∆AMH  ∆AON (c.g.c)

Từ đó suy ra AMH^=AON^  (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra KMH^=KAC^ (hai góc đồng vị).

Ta lại có KBC^=KAC^  (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra KBH^=KMH^ suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

MKH^=MBH^ (tứ giác KBMH nội tiếp)

MNC^=MBC^ (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

MKH^=MNC^  KH//NC       (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

IH là đường trung bình của tam giác NBC IH // NC           (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hoa văn của một tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 25cm là hai cung tròn tâm B và tâm D bán kính 25cm có phần chung (phần tô đậm) là hình quả trám như hình vẽ. Hãy tính diện tích phần chung này. (Lấy π ≈ 3,14 và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hoa văn của một tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 25cm là hai cung tròn tâm B và tâm D bán kính 25cm (ảnh 1)

Xem đáp án » 23/07/2024 2,916

Câu 2:

Giải các phương trình sau:

a) 3x2 + 10x + 3 = 0

b) –x4 + 2020x2 + 2021 = 0

c) x3 – 5x2 + 4x = 0

Xem đáp án » 21/07/2024 316

Câu 3:

Một trường tổ chức cho 330 người bao gồm giáo viên và học sinh đi tham quan Dinh Độc Lập. Biết giá vé tham quan tòa nhà chính Di tích lịch sử Dinh Độc Lập của mổi giáo viên là 40 000 đồng, của mỗi học sinh là 20 000 đồng. Nhân dịp kỉ niệm 90 năm Ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3/1931-26/3/2021) nên được giảm 10% cho mỗi vé tham quan, vì vậy mà nhà trường chỉ phải trả số tiền là 6 480 000 đồng. Hỏi có bao nhiêu giáo viên, bao nhiêu học sinh?

Xem đáp án » 21/07/2024 315

Câu 4:

Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = –x + 2.

a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Xem đáp án » 18/07/2024 210

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »