Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và $\widehat{\text{AMH}}\text{=}\widehat{\text{AON}}$ .

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có:

$\widehat{\text{OBA}}$= 90° (AB là tiếp tuyến của (O)).

$\widehat{\text{OCA}}$= 90° (AC là tiếp tuyến của (O)).

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{\text{OBA}}$ + $\widehat{\text{OCA}}$ =  90° + 90° = 180°.

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

$\widehat{\text{NAB}}$ là góc chung.

$\widehat{\text{ANB}}\text{=}\widehat{\text{ABM}}$ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM $\infty$  ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra  $\frac{\text{AM}}{\text{AB}}\text{=}\frac{\text{BM}}{\text{NB}}\iff$AB.BM = AM.NB (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có $\widehat{\text{OBA}}$ = 90° suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra $\widehat{\text{OKM}}\text{=}\widehat{\text{OKA}}=$ 90° dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM  ∆ANB (cmt) nên ta có: $\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}$

Û AB² = AM.AN.

Mà ta cũng có AB² = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM.AN = AH.AO Û $\frac{\text{AM}}{\text{AO}}\text{=}\frac{\text{AH}}{\text{AN}}$.

Xét ∆AMH và ∆AON có:

$\widehat{\text{OAN}}$ là góc chung

$\frac{\text{AM}}{\text{AO}}\text{=}\frac{\text{AH}}{\text{AN}}$ (cmt)

Suy ra ∆AMH  ∆AON (c.g.c)

Từ đó suy ra $\widehat{AMH}=\widehat{AON}$  (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra $\widehat{KMH}=\widehat{KAC}$ (hai góc đồng vị).

Ta lại có $\widehat{\text{KBC}}\text{=}\widehat{\text{KAC}}$  (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra $\widehat{KBH}=\widehat{KMH}$ suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

$\widehat{MKH}=\widehat{MBH}$ (tứ giác KBMH nội tiếp)

$\widehat{\text{MNC}}\text{=}\widehat{\text{MBC}}$ (tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

⇒ $\widehat{MKH}=\widehat{MNC}$ ⇒ KH//NC       (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

⇒ IH là đường trung bình của tam giác NBC ⇒ IH // NC           (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit).

*Phương pháp giải:

a+b)Áp dụng hai tam giác bằng nhau 

c) sử dụng tiên đề ơ clit

*Lý thuyết:

1. Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song:

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với

đường thẳng đó.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song:

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau.

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

- Hai góc trong cùng phía bù nhau.

$a\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}b\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{A_1}=\widehat{B_3}\\ \widehat{A_2}=\widehat{B_2}\\ \widehat{A_4}+\widehat{B_3}={180}^o\end{array}\right.$

Xem thêm

Tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7 

TOP 20 câu Trắc nghiệm Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song (Kết nối tri thức 2024) có đáp án