Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn ${\log }_2 \frac{\sin x + 2}{\cos x + 2} = 2\cos x - \sin x + 3$. Gọi $-\frac{a}{b}$với $a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, $\frac{a}{b}$ tối giản là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3{\cos }^{3}x + \sin 2x - 5\cos x$ Tính T = a +b

Cho các số thực x,y dương thỏa mãn ${\log }_2 {\left(x+2y\right)}^2 = {\log }_{\sqrt{2}} x + 4{\log }_4 y$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^2}{1+4y} +\frac{y^2}{2x+1}$

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x + cosx. Giá trị $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-F\left(0\right)$ bằng

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: $2{\log }_2 a - {\log }_2 b \le {\log }_2 \left(a+6b\right)$. Tìm giá trị lớn nhất $P_{max}$ của biểu thức $P = \frac{ab - b^2}{a^2 - ab + 2b^2}$

Biết rằng trong tất cả các cặp (x; y) thỏa mãn: ${\log }_2 \left(x^2+y^2+2\right) \le {\log }_2 \left(x+y-1\right)$. Chỉ có duy nhất một cặp (x; y) thỏa mãn: 3x + 4y - m = 0 . Khi đó hãy tính tổng tất cả các giá trị m tìm được?

Số nghiệm thực của phương trình $2^{\sqrt{x}} = 2^{2-x}$ là:

Tìm tập hợp S của bất phướng trình $5^{1-2x} > \frac{1}{125}$

Cho a là số thực dương thỏa mãn $a\ne 10$, mệnh đề nào dưới đây sai?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $4^x + 2^x + 4 = 3^m\left(2^x + 1\right)$ có hai nghiệm phân biệt

Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\log \left(mx\right) = 2\log \left(x+1\right)$ có nghiệm là 

Với các số thực a,b lớn hơn 1 thỏa mãn $4a^2 + 9b^2 = 13ab$. Giá trị biểu thức $P = \frac{2 + {\log }_5 a + {\log }_5 b }{{\log }_{25} (2a + 3b)}$ bằng

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2 \left(3.2^x - 1\right) = 2x + 1$ bằng

Cho hàm số $y = f\left(x\right) = {\log }_{0,5} \left(x-1\right) + m^2 + m$ (m là tham số). Biết rằng có hai giá trị $m_1$ ;$m_2$để gía trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn $\left[\frac{33}{32}; \frac{1025}{1024}\right]$ bằng 13. Tính $T = ({m_1}^2-m_1)\left({m_2}^2-m_2\right)$

Biết phương trình ${\log }_3 \left(3^x-1\right) \left[1 + {\log }_3 \left(3^x-1\right)\right]=6$ có hai nghiệm là $x_1 < x_2$ và tỉ số $\frac{x_1}{x_2} = \log \frac{a}{b}$trong đó $a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}$ và a,b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a + b

Tập xác định của hàm số $y = \ln \left(4^x - 2^{x+1} - 8\right)$ là

Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn $\sqrt[n]{\sqrt[3]{3}} = 3^{\frac{1}{12}}$.Tìm giá trị của n.