Bài tập Toán lớp 9 Học kì 1 có đáp án

Bài tập Toán lớp 9 Học kì 1 có đáp án

PHẦN 1: ĐẠI SỐ

A. Bài toán về biến đổi đơn giản biểu thức căn bậc 2

I. Lý thuyết 

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai.

Với B ≠ 0; AB ≥ 0 ta có:

   

4. Trục căn thức ở mẫu

Định nghĩa: Trục căn thức ở mẫu là biến đổi biểu thức sao cho mẫu số không còn chứa căn.

II. Các dạng bài và ví dụ minh họa              

Dạng 1: Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn hoặc vào trong dấu căn.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng các công thức đưa thừa số vào trong dấu căn hoặc ra ngoài dấu căn.

Bước 2: Thực hiện lần lượt các phép tính.

Chú ý: Khi thực hiện ta nên chú ý điều kiện của biến.

Ví dụ 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn. 

Giải: 

Ví dụ 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Lời giải:

Dạng 2: So sánh các căn bậc hai.

Phương pháp giải: Đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn rồi so sánh

Ta có: 0 ≤ a < b ⇔ √a < √b   

Ví dụ 1: So sánh các số sau

a) 4√10 và 5√7                                                  b) 3√13 và 2√14 

Lời giải:

a) Ta có: 4√10 =  

              5√7 =  

Vì 160 < 175 nên √160 < √175 => 4√10 < 5√7 

b) Ta có: 3√13 =  

              2√14 = 

Vì 117 > 56 nên √117 > √56 => 3√13 > 2√14 

Ví dụ 2: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần.

√17; 2√5; 3√2

Lời giải:

Ta có:

2√5 =  

3√2 =      

Vì 17 < 18 < 20 nên √17 < √18 < √20

Dãy số sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: √17 < 3√2 < 2√5 

Ví dụ 3: Trong các số 7√2 ; 2√8 ; √28 ; 5√2 số nào bé nhất, số nào lớn nhất?

Lời giải:

Ta có:

7√2 =  

2√8 =      

5√2 =    

Vì 28 < 32 < 50 < 98

=> √28 < √32 < √50 < √98

=> √28 < 2√8 < 5√2 < 7√2 

Nên số bé nhất là √28; số lớn nhất là 7√2.

Dạng 3: Khử mẫu của biểu thức chứa dấu căn

Phương pháp giải: 

Bước 1: Sử dụng công thức khử mẫu dưới dấu căn

Với B ≠ 0; AB ≥ 0 ta có:

   

Bước 2: Thực hiện tính toán.

Chú ý khi làm cần chú ý đến điều kiện của của biến.

Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn 

Lời giải:

Dạng 4: Rút gọn biểu thức căn bậc hai

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng các cách biến đổi đưa thừa số vào trong căn hoặc ngoài căn, khử mẫu của biểu thức căn bậc hai.

Bước 2: Thực hiện các phép tính theo thứ tự, phép khai căn thực hiện trước đến lũy thừa cuối cùng là các phép toán cơ bản cộng trừ nhân chia.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: 

Lời giải:

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 

Lời giải:

Ví dụ 3: Cho biểu thức

P =  với x ≥ 0; x ≠ 16

Rút gọn P.

Lời giải:

 

Ví dụ 4: Cho biểu thức 

B =  ( x ≥ 0; x ≠ 1)      

Rút gọn B

Lời giải:

 

Dạng 5: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức đã được học ở phần trục căn thức.

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn:

Lời giải:

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:

Q =  

Lời giải:

 

III. Bài tập bổ sung tự luyện.

Bài 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a)  với a > 0                               b) a√5 với a ≤ 0

Bài 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a)  với x > 0 b)  với x ≥ 0; y ∈ R

Bài 3: So sánh các cặp số sau:

a) 4√3 và 3√4                                       b) 4√15 và 5√13  

Bài 4: Sắp xếp các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn

3√2; √14; 2√7; 4√2; 3√5  

Bài 5: Khử mẫu các biểu thức dưới dấu căn: 

Bài 6: Rút gọn biểu thức:  với x ≥ 0; x ≠ 9

Bài 7: Rút gọn biểu thức:  với x ≥ 0; x ≠ 4

Bài 8: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn:

Bài 9: Thực hiện phép tính:  

B. Bài tập tổng hợp về căn bậc ba

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Bài 4: Chứng minh rằng  là một nghiệm của phương trình x³ - 3x² - 2x - 8 = 0

Bài 5: Cho xy ≠ ±2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

    a) Lập phương 2 vế của phương trình ta được phương trình:

    x(x + 1)(x + 2) = 0 ⇒ x = 0; x = -1; x = -2

    b) Lập phương 2 vế của phương trình và sử dụng hằng đẳng thức

    (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b), ta có phương trình tương đương

    c) Tương tự câu b, nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 3

    ⇔ x³ -9x² = x³ - 9x² + 27x - 27

    ⇔ x = 1.

Bài 4:

    ⇔ x₀ = 4

    Thay x₀ = 4 vào phương trình x³ - 3x² - 2x - 8 = 0 ta có đẳng thức đúng là:

    4³ - 3.4² - 2.4 - 8 = 0

    Vậy x₀ là nghiệm của phương trình x³ - 3x² - 2x - 8 = 0

Bài 5:

    Đặt xy = a; ∛2 = b. Khi đó, biểu thức có dạng:

    = 0

    Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào x, y.

C. Bài tập dùng biểu thức liên hợp để giải toán

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức P = x³ + y³ - 3(x + y) + 2018  

Biết 

Bài 2: Cho số 

    a) Chứng tỏ rằng x₀ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0

    b) Tính x₀

Bài 3: Rút gọn các biểu thức:

Bài 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

    Chứng minh rằng x = y

Bài 5: Tìm n ∈ N sao cho:

Bài 6:

    a) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n, ta luôn có:

    b) Tính tổng

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

    ⇒ y³ = 34 + 3y ⇒ y³ - 3y = 34

    Khi đó:

    P = x³ + y³ - 3(x + y) + 2018 = x³ - 3x + y³ - 3y + 2018

    = 6 + 34 + 2018 = 2058

Bài 2:

    Vậy x₀ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0

    b) x₀³ - 3x₀ - 18 = 0 ⇔ (x₀ - 3)(x₀² + 3x₀ + 6) = 0

    ⇔ x₀ - 3 = 0 (do x₀² + 3x₀ + 6 > 0 ∀x₀ )

    ⇔ x₀ = 3

Bài 3:

    Khi đó:

 

    Cho k các giá trị 1; 5; 9; ... ; 2014 ta có

Bài 4:

Lời giải đang trong quá trình biên soạn.

Bài 5:

Áp dụng công thức  ta có:

    ⇔ n = 143

Bài 6:

D. Bài tập giải phương trình chứa căn

Giải các phương trình sau:

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

    ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1

    Phương trình tương đương với:

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 5)

    ĐK: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 5

    Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 14)

    ĐK: x ≥ -1; y ≥ -2; z ≥ -3

    Phương trình tương đương với:

    Phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (3; 7; 13)

Bài 2:

    ĐK: x ≥ 0

    Trục căn thức ở mẫu, phương trình có dạng:

    ⇔ x + 3 = x + 2√x + 1

    ⇔ √x = 1

    ⇔ x = 1 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

    ĐK x ≥ 1

    Phương trình có dạng:

    ⇔ x = 2 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

    Phương trình có nghiệm x = ±√7

    ĐK: x ≥ (-1)/2

    Phương trình có dạng:

   + Xét 1/2 ≤ x < 1, phương trình có dạng:

  ⇔ 2x - 1 = 1 ⇔ x = 1 (không TMĐK)

  + Xét 1 ≤ x < 5/2,phương trình có dạng:

   ⇔ phương trình nghiệm đúng với 1 ≤ x < 5/2

   + Xét 5/2 ≤ x < 5,phương trình có dạng:

  ⇔ x = 5/2 (TMĐK)

  + Xét x ≥ 5, phương trình có dạng:

  ⇔ x = 13 (TMĐK)

  Vậy nghiệm của phương trình là: 1 ≤ x ≤ 5/2; x = 13

  ĐKXĐ: x ≥ 5/2.Phương trình có dạng:

  Giải ra ta có nghiệm 5/2 ≤ x ≤ 3

  Giải ra ta có nghiệm là 1 ≤ x ≤ 10

Bài 3:

Cách giải tương tự VD2

a) Phương trình có nghiệm duy nhất x = -3

b) Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 4:

    ĐKXĐ: x ≥ 1/3

    Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/3

    Cách giải tương tự câu a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

Phương trình viết dưới dạng

 Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

d) Phương trình viết dưới dạng

Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

e) Phương trình có nghiệm x = 0; x =1

Bài 5:

    Dấu bằng xảy ra khi x = -2; y = 2

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-2; 2)

    -2(x - 2)² + 5 ≤ 5 ∀x

    Khi đó phương trình tương đương với:

E. Bài tập hàm số bậc nhất

Bài 1: Cho hai hàm số 

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho

b) Tính f(2); f(1/2), g(0), g(1), g(1/2)

Bài 2: Cho hàm số y = -mx + m - 3. Biết f(-2) = 6. Tính f(-3)

Bài 3: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = f(x) = (1 - √2)x + 1, với x ∈ R

b)  với x ≥ 2

c) y = f(x) = x² + 2,với x < 0

Bài 4: Cho hàm số y = (2m + 1)x - m + 3

a) Tìm m biết đồ thị đi qua điểm A(-2; 3)

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Bài 5: Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A(-2; 0) và B(0; 3)

Bài 6: Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + 4 - m và y = 3x + m - 2 cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Bài 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3 với m ≠ 2

a) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 8: Cho hai đường thẳng (d₁ ): y = 12x + 5 - m; (d₂ ): y = 3x + 3 + m

Xác định m để giao điểm của (d₁ ) và (d₂ ) thỏa mãn

a) Nằm trên trục tung

b) Nằm bên trái trục tung

c) Nằm trong góc phần tư thứ hai.

Bài 9: Cho đường thẳng (d):y = (m - 3)x + 3m + 2. Tìm giá trị nguyên của m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Hàm số  xác định khi x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

Hàm số xác định khi 

b) f(2) = 0;

f(1/2) không xác định (do 1/2 không thỏa mãn ĐKXĐ)

g(0) = 1; g(1) = 1; g(1/2) = √2

Bài 2:

y = -mx + m - 3.

Ta có: f(-2) = -m.(-2) + m - 3 = 6 ⇔ 3m - 3 = 6 ⇔ m = 3

Khi đó y = f(x) = -3x

⇒ f(-3) = -3.(-3) = 9

Bài 3:

a) , với x ∈ R

Hàm số trên là hàm bậc nhất có hệ số a=1-√2 < 0

⇒ Hàm số nghịch biến trên R

b) y = f(x) = ⇒ (x -2 ) với x ≥ 2

Lấy x₁, x₂ tùy ý thuộc đoạn [2; +∞) sao cho x₁ > x₂

Khi đó: 

⇒ Hàm số đồng biến trên [2; +∞)

c) y = f(x) = x² + 2, với x < 0

Lấy x₁, x₂ tùy ý thuộc đoạn (-∞;0) sao cho x₁ > x₂

⇒ x₁² < x₂² ⇒ x₁² + 2 < x₂² + 2 ⇒ f(x₁ ) < f(x₂ )

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞;0)

Bài 4: y = (2m + 1)x - m + 3

a) Đồ thị đi qua điểm A(-2; 3)

⇒ 3 = (2m + 1).(-2) - m + 3

⇔ 5m = -2 ⇔ m = (-2)/5

b) Giả sử điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m là (x₀; y₀ )

Khi đó: y₀ = (2m + 1) x₀ - m + 3 đúng với mọi m

⇔ m(2x₀ - 1) + 3 + x₀ - y₀ = 0 đúng với mọi m

Vậy điểm cố định là (1/2; 7/2)

Bài 5:

Giả sử đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = ax + b

A(-2; 0) ∈ AB ⇒ 0 = -2a + b ⇒ b = 2a

A(0; 3) ∈ AB ⇒ 3 = a.0 + b ⇒ b = 3

⇒ a = b/2 = 3/2

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = (3/2)x + 3

Bài 6:

Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là nghiệm của phương trình

2x + 4 - m = 3x + m - 2 ⇔ x = 2m - 6

Hai đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên hoành độ giao điểm bằng 0

⇒ 2m - 6 = 0 ⇔ m = 3

Vậy với m = 3 thì hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm nằm trên trục tung.

Bài 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + m + 3 với m ≠ 2

a) Hàm số đồng biến ⇔ m - 2 > 0 ⇔ m > 2

Hàm số nghịch biến ⇔ m - 2 < 0 ⇔ m < 2

b) Cho x = 0 ⇒ y = m + 3, đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0, m + 3)

Cho y = 0 ⇒ (m - 2)x + m + 3 = 0

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm 

⇔ (m + 3)² = 2|m - 2|

TH1: m < 2, khi đó phương trình tương đương với:

(m + 3)² = 4 - 2m

⇔ m² + 8m + 5 = 0

⇔ (m + 4)² = 11

⇔ m = -4 ± ⇒ 11

TH2: m > 2 phương trình tương đương với

(m + 3)² = 2m - 4

⇔ m² + 4m + 13 = 0

⇔ (m + 2)² + 9 = 0

⇒ không tồn tại m

Vậy với m = -4 + ⇒ 11 và m = -4 - ⇒ 11 thì đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 8: (d₁ ): y = 12x + 5 - m; (d₂ ): y = 3x + 3 + m

Hoành độ giao điểm của (d₁ ) và (d₂ ) là nghiệm của phương trình

12x + 5 - m = 3x + 3 + m ⇔ 9x = 2m - 2

    ⇒ Tọa độ giao điểm là 

a) Giao điểm của (d₁) và (d₂) nằm trên trục tung

⇔ hoành độ giao điểm của (d₁) và (d₂) bằng 0.

⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1

b) Giao điểm của (d₁ ) và (d₂ ) nằm bên trái trục tung

⇔ hoành độ giao điểm của (d₁ ) và (d₂ ) nhận giá trị âm

⇔2m - 2 < 0 ⇔ m < 1

c) Giao điểm của (d₁) và (d₂) nằm trong góc phần tư thứ hai.

⇔ hoành độ giao điểm nhận giá trị âm và tung độ giao điểm nhận giá trị dương.

Bài 9: (d): y = (m - 3)x + 3m + 2.

ĐK để (d) cắt Ox là m ≠ 3

Cho y = 0 ⇒ (m - 3)x + 3m + 2 = 0

⇒ (d)cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 

x ∈ Z ⇔ m - 3 ∈ Ư(11) ⇔ m ∈ {4; 14; 2; -8}

Vậy với m ∈ {4;14;2; -8} thì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên.

PHẦN 2: HÌNH HỌC

Dạng bài tập hình tổng hợp

Bài 1 :
Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh :

1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC).

2. FA.FH = FB.FC.

3. bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn này.

4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Giải.

1. AH vuông góc BC :
? DBC nt (O) đường kính BC (gt)

=> ? DBC vuông tại D

=> BD   CD hay BD  AC.

Cmtt : CE   AB

Xét tam giác ABC có :

CE  AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất.

BD   AC (cmt) => BD đường cao thứ hai.
hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

= > H là trực tâm của tam giác ABC

= > AH là đường cao thứ ba.

= > AH  BC tại F.

2. FA.FH = FB.FC :

Xét ? FAB và ? FCH, ta có :

(cmt)

(? FAB vuông tại F)

(? FAC vuông tại F)

=>  (1)

=> ? FAB đồng dạng  ? FCH

=> 

=> FA.FH = FB.FC

3.A, E, H, D nằm trên đường tròn

Xét  ΔAEH vuông tại E (gt)

= > ΔAEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1).

Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1).

Xét  ΔADH vuông tại D (gt)

= > ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH

Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2).

Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .

Suy ra : tâm I là trung điểm AH.

4. IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)

=> Δ AEI cân tại I

=>  (2)

Cmtt, ta được :  (3)

Từ (1), (2) và (3), ta được :

Mà : :

=> 

Hay : 

=> IE  EO tại E

Mà : E thuộc (O)

Vậy :  IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 2:

Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. gọi điểm B của đường tròn (O; R) sao cho MB = MA

1. Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

2. Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R.

3. Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM.

GIẢI.

1. MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xét ?AOM và ?BOM, ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

OM cạnh chung.

=> ?AOM = ?BOM

=> 

Mà :  (MA tiếp tuyến của (O))

=> 

Hay MB  OB tại B

Mà : điểm B của đường tròn (O; R)

Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

2. OM = 2R :

Xét ?AOM vuông tại A, ta có :

sin OMA = OA : OM = ½

=> 

Mặt khác :   (tính chất hai tt cắt nhau)

Xét ?ABM, ta có : MA = MB (gt)

=> ?ABM cân tại M

Mà :  (cmt)

=> ?ABM đều.

Xét ? vuông tại A, theo định lí ta có :

OM² = MA² + 0B²

(2R)² = MA² + R²

=> MA = 

Diện tích S_AOM = MA².   =  (dvdt)

3. chứng minh : AE // OM :
ta có :

MA = MB (gt)

OA = OB (bán kính)

=> MO là đường trung trực AB

=> OM  AB (1)

Xét ?ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính

 => ?ABE vuông tại A

=> AE  AB (2)

Từ (1) và (2) => AE // OM.

Bài 3:
Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB. tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D.

a. Chứng minh : AC + DB = CD.

b. Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R².

c. OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F. chứng minh :

1. Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
2. OE.OC = OF.OD = R².
3. EF   BD.
4. Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.
5. AD cắt BC tại N. chứng minh : MM // AC.

GIẢI.

1. Chứng minh : AC + DB = CD.

Ta có :

CA = CM (tính chất hai tt cắt nhau)

DB = DM (tính chất hai tt cắt nhau)

CD = CM + MD

=> AC + DB = CD.

2. tam giác COD vuông và AC.BD = R².

Ta có :

OD là tia phân giác góc BOM (tính chất hai tt cắt nhau)

OC là tia phân giác góc COM (tính chất hai tt cắt nhau)

Mà : góc BOM và góc COM kề bù.

=> OC  OD tại O.

Hay ?COD vuông tại O.

Trong ?COD vuông tại O, có đường cao OM. hệ thức lượng :

MC.MD = OM² = R²

Hay : AC.BD=  R² (CA = CM và DB = DM)

3.a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật :

Ta có :

CA = CM (cmt)

OA = OM ( bán kính)

=> CO là đường trung trực của AM

=> CO $latex$ AM tại E, EA = EM

=> 

Cmtt , ta được : 

Tứ giác OEMF, ta có :

(cmt)

=> Tứ giác OEMF là hình chữ nhật.

Trong ?COM vuông tại M, có đường cao ME. hệ thức lượng :

OC. OE = OM² = R²

Cmtt : OD. OF = OM² = R²

=> OE.OC = OF.OD = R².

EF   BD.

Xét ?ABM, ta có :

EA = EM (cmt)

FB = FM (cmt)

=> EF là đường trung bình

=> EF // AB

Mà AB  BD (tính chất tt)

=> EF  BD.

4. AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

trong ?COD vuông tại O (cmt)

=> ?COD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD

=> IC = ID.

Mặt khác : CA // BD (cùng vuông góc AB)

=>Tứ giác ABDC là hình thang.

Xét hình thang ABDC, ta có :

IC = ID (cmt)

OA = OB (AB là đường kính (O))

=> IO là đường trung bình

=> IO // CA

Mà CA  AB

=> IO  AB tại O

Mà : điểm O thuộc (I)

=> AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD

5. NM // AC

Ta có :

AC // BD (cmt)

=>  (định lí talet thuận)

MÀ : CA = CM và DB = DM (cmt)

=> 

=> NM // AC (định lí talet đảo)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1 ( 3,5 điểm) :
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

1. Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.

2. Chứng minh AH vuông góc BC.

3. Cho góc A = 60⁰, AB = 6cm. tính BD.

4. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 2 ( 4 điểm) :
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.

a. Chứng minh tam giác ABC vuông.

b. Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA  =DF.

c. Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.

d.Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra  OE // CA.

Bài 3 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )

a. C/m: Tam giác ABC đều

b. Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại  S . C/m : SO = SA

c. Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O)

d. Tính độ dài SI theo R

Bài 4 : (4 đ)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông góc vơi AB.

a. Chứng minh tam giác OCB đều.

b. Tính đô dài AC và CH theo R.

c. Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và 4HB.HI = 3R²

d. Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.

Bài 5 : (3,5 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).

a. Chứng minh ΔBCD vuông.

b. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).

c. Chứng minh DC. AO = 2R².

d. Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.