$\iff \left\{\begin{array}{c}x-1\ge 0\\ 2x+m={\left(x-1\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x^2-4x+1-m=0(*)\end{array}\right.$

Phương trình có nghiệm duy nhất khi hệ có nghiệm duy nhất.

TH1: $∆\text{'}=0\iff m=-3$ thì (*) có nghiệm kép $x=2\ge 1$ (thỏa).

TH2: $∆\text{'}>0\iff m>-3$ thì phương trình có nghiệm duy nhất khi (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

$x_1<1<x_2\iff \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)<0\iff x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+<0$

$\iff 1-m-4+<0\iff m>-2$

Do m không dương nên m ∈ {−1; 0}

Kết hợp với trường hợp m = −3 ở trên ta được 3 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình $2x^2-4mx-1=0$ có $∆\text{'}=4m^2+2>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với $S=x_1+x_2=2m$, $P=x_1{x}_2=-\frac{1}{2}$

Ta có: $T^2={\left(x_1-x_2\right)}^2=S^2-4P=4m^2+2\ge 2\Rightarrow T\ge \sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi m = 0.

Vậy $minT=\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và Ox: $x^2-4x+m=0\left(1\right)$

Để (P) cắt Ox tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ a\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}4-m>0\\ 1\ne 0\end{array}\right.\iff m<4$

Giả sử $A\left(x_1;0\right)$, $B\left(x_2;0\right)$ và $x_1+x_2=4, x_1{x}_2=m$

Ta có: $OA=OB\iff \left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\iff \left[\begin{array}{c}{x}_1=3x_2\\ x_1=-3x_2\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $x_1=3x_2\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1=3\\ x_2=1\end{array}\right.\Rightarrow m=3$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: $x_1=-3x_2\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1=6\\ x_2=-2\end{array}\right.\Rightarrow m=-12$ (thỏa mãn)

Vậy S = −12 + 3 = −9.

Đáp án cần chọn là: D

Thử lại 3 giá trị -5; -6; $-\frac{11}{2}$ đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: B

Đặt $t=\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}},t>0$

$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}=t\Rightarrow t^2=\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}=\sqrt{\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}}$

$\sqrt{\frac{x^2-x^2+1}{x+\sqrt{x^2-1}}}=\sqrt{\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\Rightarrow \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{t^2}$

Ta có pt: $t+\frac{1}{t^2}=2\iff t^3-2t^2+1=0\iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

So sánh với điều kiện t > 0 ta tìm được $t=1,t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Trường hợp 1: $t=1:\sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}=1\iff x-\sqrt{x^2-1}=1$

$\iff x-1=\sqrt{x^2-1}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x^2-2x+1=x^2-1\end{array}\right.\iff x=1$

Trường hợp 2: $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\iff x-\sqrt{x^2-1}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\iff x-\frac{7+3\sqrt{5}}{2}=\sqrt{x^2-1}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\ {\left(x-\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)}^2=x^2-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{7}{2}\end{array}\right.\Rightarrow x\in \varnothing$

Kết hợp hai trường hợp ta được nghiệm x = 1

Đáp án cần chọn là: D

+ Khi $m-1=0\iff m=1$ phương trình cho trở thành: $-x^2=0\iff x=0$

Do đó: $m=1$ không thỏa mãn đề bài.

+ Khi $m-1\ne 0\iff m\ne 1$

Đặt $t=x^2\left(t\ge 0\right)$

Phương trình cho trở thành $\left(m-1\right)t^2-mt+m^2-1=0\left(1\right)$

Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt $\iff \left(1\right)$ có hai nghiệm $t_1,t_2$ thoả $t_1=0<t_2$

Khi $t_1=0\Rightarrow m=\pm 1$. Do có hai nghiệm phân biệt nên $m\ne 1$

Với $m=-1\Rightarrow t_2=\frac{1}{2}$ (nhận).

Đáp án cần chọn là: C

$x^4-5x^3+8x^2-10x+4=0\iff (x^4+4x^2+4)-5x^3+4x^2-10x=0$

$\iff {\left(x^2+2\right)}^2-\left(5x^3+10x\right)+4x^2=0\iff {\left(x^2+2\right)}^2-5x\left(x^2+2\right)+4x^2=0$

Đặt $t=x^2+2$ ta được $t^2-5tx+4x^2=0\iff \left(t-x\right)\left(t-4x\right)=0$

Hay phương trình đã cho $\iff \left(x^2-x+2\right)\left(x^2-4x+2\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-x+2=0\left(VN\right)\\ x^2-4x+2=0\end{array}\right.\iff x=2\pm \sqrt{2}$

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-2x-2=x+m\iff x^2-3x-2-m=0$

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B $\iff \Delta >0\iff 17+4m>0\iff m>-\frac{17}{4}$

Giả sử (*) có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}=3\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=-m-2\end{array}\right.$

$=18-4(-2-m)+6m+2m^2=2m^2+10m+26=2{\left(m+\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{27}{2}\ge \frac{27}{2}$với $m>-\frac{17}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $O{A}^2+O{B}^2$ là $\frac{27}{2}$ khi $m=-\frac{5}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện: $\left(4-x\right)\left(x+2\right)\ge 0\iff x\in \left[-2;4\right]$

$x^2-2x-8=4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}\iff x^2-2x-8=4\sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}$

Đặt $t=\sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)},t\ge 0$

$\iff t^2=-\left(x^2-2x-8\right)\iff x^2-2x-8=-t^2$

$\left(1\right)\iff -t^2=4t\iff t^2+4t=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\left(n\right)\\ t=-4\left(l\right)\end{array}\right.$$\iff \sqrt{-\left(x^2-2x-8\right)}=0$

$\iff -\left(x^2-2x-8\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-2\left(TM\right)\\ x=4\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

Đáp án cần chọn là: D

$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+4\sqrt{1-x^2}=m\left(1\right)$

Điều kiện: $-1\le x\le 1$

Đặt $t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\ge 0\Rightarrow t^2=2+2\sqrt{1-x^2}$

Do $2\le t^2\le 4$ nên $t\in \left[\sqrt{2};2\right]$

Trở thành $t+2\left(t^2-2\right)=m\iff 2t^2+t-\left(4+m\right)=0\left(2\right)$

Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm $t\in \left[\sqrt{2};2\right]$

Tức là: $\left\{\begin{array}{c}\Delta =1+4.2\left(4+m\right)=8m+33\ge 0\\ \left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\le \frac{-1-\sqrt{8m+33}}{4}\le 2\\ \sqrt{2}\le \frac{-1+\sqrt{8m+33}}{4}\le 2\end{array}\right.\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}m\ge -\frac{33}{8}\\ 4\sqrt{2}+1\le \sqrt{8m+33}\le 9\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m\ge -\frac{33}{8}\\ \sqrt{2}\le m\le 6\end{array}\right.\iff \sqrt{2}\le m\le 6$

Vậy $m\in \left[\sqrt{2};6\right]$ thì phương trình đã cho có nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:  $x^3-\left(2m+1\right)x^2+\left(4m-1\right)x-2m+1=0\left(1\right)$

$\iff \left(x-1\right)\left(x^2-2mx+2m-1\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x^2-2mx+2m-1(*)\end{array}\right.$

Để phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm kép $x=1$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=m^2-2m+1=0\\ 1-2m+2m-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{\left(m-1\right)}^2=0\\ 0=0\end{array}\right.\iff m=1$

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện xác định $x^2+5x+10\ge 0\iff x\in R$

Khi đó phương trình $\iff x^2+5x+10+2\sqrt{x^2+5x+10}-8=0$

$\iff (\sqrt{x^2+5x+10}-2)(\sqrt{x^2+5x+10}+4)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\sqrt{x^2+5x+10}=2\\ \sqrt{x^2+5x+10}=-4\end{array}\right.\iff \sqrt{x^2+5x+10}=2$$\iff x^2+5x+6=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-3\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy $x_1^2+x_2^2=2^2+3^3=13$

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình đã cho tương đương $m=x^2-2x-3$

Đặt $y=f\left(x\right)=x^2-2x-3$

Ta có đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

Dựa vào đồ thị, để phương trình $y=f\left(x\right)=x^2-2x-3=m$ có nghiệm x ∈ [0; 4]  thì $-4\le m\le 5$

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình đã cho tương đương $f\left(x\right)=\frac{1}{2}$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=\frac{1}{2}$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại đúng 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2f\left(x\right)-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $\left(x-1\right)\left(x-3\right)+3\sqrt{x^2-4x+5}-2=0$

$\iff x^2-4x+5+3\sqrt{x^2-4x+5}-4=0$

$\iff \left(\sqrt{x^2-4x+5}-1\right)\left(\sqrt{x^2-4x+5}+4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\sqrt{x^2-4x+5}=1\\ \sqrt{x^2-4x+5}=-4\left(VN\right)\end{array}\right.$

$\iff x^2-4x+5=1\iff x^2-4x+4=0\iff x=2$

Vậy tổng bình phương các nghiệm là $2^2=4$

Đáp án cần chọn là: B

Do đường thẳng d đi qua điểm I (1; 3) nên $a+b=3\Rightarrow a=3-b$

Giao điểm của d và các tia Ox, Oy lần lượt là $M\in \left(-\frac{b}{a};0\right)$ và $N\left(0;b\right)$

(Với b > 0, a < 0 suy ra b > 3)

Do đó: $S_{\Delta OMN}=\frac{1}{2}.OM.ON=\frac{1}{2}.\left|\frac{b}{a}\right|.\left|b\right|=\frac{b^2}{2\left|a\right|}$. Mà $S_{\Delta OMN}=6\iff b^2=12\left|a\right|$

$\iff b^2=12\left|3-b\right|\iff \left[\begin{array}{c}{b}^2=36-12b\\ b^2=-36+12b\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}b=6\left(TM\right)\\ b=-6+\sqrt{72}\left(L\right)\\ b=-6-\sqrt{72}\left(L\right)\end{array}\right.$

Với $b=6\Rightarrow a=-3\Rightarrow d:y=-3x+6$

Đáp án cần chọn là: A