Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là x1; x2 (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x1 + x2 (m) và x1x2 (m2).

Theo bài, hàng rào 40 m rào xung quanh mảnh vườn nên nửa chu vi mảnh vườn là 40 : 2 = 20 (m), do đó x1 + x2 = 20.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 96 m2, do đó x1x2 = 96.

Khi đó, x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 20x + 96 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)2 – 1.96 = 4 > 0 và

Do đó phương trình có hai nghiệm là:  

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 12 (m) và 8 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

Ta có:

⦁ 

⦁ 

2x2 – 7x + 3 = 0

Ta có ∆ = (–7)2 – 4.2.3 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

25x2 – 20x + 4 = 0

Ta có ∆’ = (–10)2 – 25.4 = 0 nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

Ta có  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

Ta có ∆ = (–1)2 – 4.1.1 = –3 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Do đó, không tính được tổng và tích các nghiệm của phương trình x2 – x + 1 = 0.

Vậy bạn Tròn nói sai.

Thay x1 = 1 vào phương trình 2x2 – 7x + 5 = 0, ta được:

2.12 – 7.1 + 5 = 0 (đúng).

Vậy x1 = 1 là một nghiệm của phương trình 2x2 – 7x + 5 = 0.

Theo định lí Viète, ta có:

Hay suy ra

Vậy

Giả sử phương trình có một nghiệm và nghiệm còn lại là x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1x2 = 2.

Do đó

Vậy phương trình có hai nghiệm

Xét phương trình x2 + x + 1 = 0 có ∆ = 12 – 4.1.1 = –3 < 0.

Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Vậy em không đồng ý với ý kiến của Tròn.

Tích của hai số x và 5 – x là: x(5 – x).

Theo bài, ta có:

x(5 – x) = 6

5x – x2 = 6

x2 – 5x + 6 = 0.

Ta có ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 1 > 0.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình x2 + 11x + 28 = 0.

Ta có ∆ = 112 – 4.1.28 = 9 > 0 và

Suy ra phương trình có hai nghiệm  

Vậy hai số cần tìm là –4 và –7.

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là x1; x2 (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x1 + x2 (m) và x1x2 (m2).

Theo bài, hàng rào 40 m rào xung quanh mảnh vườn nên nửa chu vi mảnh vườn là 40 : 2 = 20 (m), do đó x1 + x2 = 20.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 96 m2, do đó x1x2 = 96.

Khi đó, x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 20x + 96 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)2 – 1.96 = 4 > 0 và

Do đó phương trình có hai nghiệm là:  

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 12 (m) và 8 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

x2 – 12x + 8 = 0.

Ta có: ∆’ = (–6)2 – 1.8 = 28 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

x1 + x2 = 12; x1x2 = 8.

2x2  + 11x – 5 =0.

Ta có: ∆ = 112 – 4.2.(–5) = 161 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

3x2 – 10 = 0.

Ta có: ∆’ = 02 – 3.(–10) = 30 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

x2 – x + 3 = 0.

Ta có: ∆ = (–1)2 – 4.1.3 = –11 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Gọi x2 là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có:

Do đó  

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 2 và

Vì u + v = 20, uv = 99 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x2 – 20x + 99 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)2 – 1.99 = 1 > 0 và

Suy ra phương trình có hai nghiệm  

Vậy u = 11; v = 9 hoặc u = 9; v = 11.

Vì u + v = 2, uv = 15 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x2 – 2x + 15 = 0.

Ta có ∆’ = (–1)2 – 1.15 = –14 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

Vậy không có số u và v nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viète, ta có: 

và

Suy ra b = –a(x1 + x2) và c = ax1x2.

Do đó:

ax2 + bx + c = ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2

= ax2 – ax1x – ax2x + ax1x2 

= ax(x – x1) – ax2(x – x1)

= a(x – x1)(x – x2).

Vậy nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 thì đa thức ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử là: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

Phương trình x2 + 11x + 18 = 0 có ∆ = 112 – 4.1.18 = 49 > 0 và

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy đa thức x2 + 11x + 18 phân tích được thành nhân tử như sau:

x2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9).

3x2 + 5x – 2.

Phương trình 3x2 + 5x – 2 = 0 có ∆ = 52 – 4.3.(–2) = 49 > 0 và

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy đa thức 3x2 + 5x – 2 phân tích được thành nhân tử như sau:

Gọi hai kích thước của bể bơi hình chữ nhật là x1; x2 (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích bể bơi hình chữ nhật lần lượt là x1 + x2 (m) và x1x2 (m2).

Theo bài, bể bơi hình chữ nhật có chu vi 74 m nên nửa chu vi bể bơi hình chữ nhật là 74 : 2 = 37 (m), do đó x1 + x2 = 37.

Diện tích bể bơi hình chữ nhật là 300 m2, do đó x1x2 = 300.

Khi đó, x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 37x + 300 = 0.

Ta có ∆ = (–37)2 – 4.1.300 = 169 > 0 và

Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:

Vậy chiều dài và chiều rộng của bể bơi lần lượt là 25 m và 12 m (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).