Sau bài học này, ta trả lời được câu hỏi trên như sau:

+ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi mặt phẳng (P) có phương trình dạng

Ax + By + Cz + D = 0,

trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0.

+ Để lập được phương trình của mặt phẳng ta cần biết một điểm nằm trên mặt phẳng và biết vectơ pháp tuyến (hoặc cặp vectơ chỉ phương) của mặt phẳng.

Giá của vectơ chính là đường thẳng AA'.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên AA' ⊥ (ABCD).

Vậy giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Vectơ có giá là đường thẳng AB, vectơ có giá là đường thẳng A'D'.

+ Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên hai đường thẳng AB và A'D' chéo nhau. Do đó, hai vectơ không chéo nhau.

+ Vì AB ⊂ (ABCD) nên giá của vectơ nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Vì A'D' // (ABCD) nên giá của vectơ song song mặt phẳng (ABCD).

+ Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oxy) nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Oxy).

+ Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Oyz) nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Oyz).

+ Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng (Ozx) nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Ozx).

Ta có vectơ vuông góc với cả hai vectơ và vì:

;

.

Ta có vectơ vuông góc với cả hai vectơ và , có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (P).

Suy ra giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng (P).

Mà , do đó vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Ta có , do đó vectơ vuông góc với cả hai vectơ và . Vậy vectơ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Ta có .

Khi đó, .

Ta có x – y = 0 ⇔ 1 ∙ x + (– 1) ∙ y + 0 ∙ z = 0.

Mặt phẳng (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.

Ta có z – 2 = 0 ⇔ 0 ∙ x + 0 ∙ y + 1 ∙ z – 2 = 0.

Mặt phẳng (Q) nhận làm vectơ pháp tuyến.

Ta có .

Khi đó: = A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN là mặt phẳng đi qua trung điểm của MN và vuông góc với MN.

Gọi I là trung điểm của MN.

Tọa độ của điểm I là . Suy ra I(1; 2; 0).

Ta có . Chọn .

Gọi mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 2; 0) và nhận làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 1) – 1(y – 2) + 0(z – 0) = 0 ⇔ x – y + 1 = 0.

Phương trình mặt phẳng (P) là:

5(x – 1) + 4(y – 3) – 3(z + 2) = 0 ⇔ 5x + 4y – 3z – 23 = 0.

Ta có .

Xét vectơ , tức là . Khi đó là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là:

0(x – x0) + 0(y – y0) + 1(z – z0) = 0 ⇔ z – z0 = 0.

Ta có .

Nhận thấy với mọi số thực k ≠ 0 nên hai vectơ không cùng phương.

Vậy H, I, K không thẳng hàng.

+ Ta có (Oyz): x = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz) là .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .

Do và m ≠ 0 nên (P) // (Oyz).

+ Ta có (Ozx): y = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx) là .

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là .

Do và m ≠ 0 nên (Q) // (Ozx).

+ Ta có (Oxy): z = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là .

Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến là .

Do và m ≠ 0 nên (R) // (Oxy).

Ta có .

Vậy hai vectơ vuông góc với nhau.

Ta có (Ozx): y = 0.

Hai mặt phẳng (Ozx) và (P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .

Vì = 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 2 = 0  nên . Vậy (Ozx) ⊥ (P).

Vì H là hình chiếu vuông góc của M0 trên mặt phẳng (P) nên HM0 ⊥ (P).

Vectơ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng (P).

Từ đó suy ra đường thẳng HM0 và giá của vectơ song song hoặc trùng nhau.

Do vậy, hai vectơ cùng phương.

Suy ra

       = |A(2 – xH) + B(3 – yH) + C(4 – zH)|

       = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + (– AxH – ByH – CzH)|. (1)

Mặt khác vì H ∈ (P) nên ta có

AxH + ByH + CzH + D = 0, suy ra D = – AxH – ByH – CzH. (2)

Thay (2) và (1) ta được = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + D|. 

Ta có .

Từ câu b) suy ra .

Vậy d(M0, (P)) = .

+ Ta có (Oyz): x = 0 nên khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oyz) là:

d(M, (Oyz)) = = |a|.

+ Ta có (Ozx): y = 0 nên khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Ozx) là:

d(M, (Ozx)) = = |b|.

+ Ta có (Oxy): z = 0 nên khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy) là:

d(M, (Oxy)) = = |c|.

Chọn điểm M ∈ (P1). Suy ra khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P2) là: .

Do khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2) bằng d(M, (P2)) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P1), (P2) bằng .

Đáp án đúng là: D

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C, D không đồng thời bằng 0. Do đó trong các đáp án đã cho, ta thấy chỉ có phương trình ở đáp án D: 3x – 4y – 5z + 1 = 0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng x + 2y – 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: .

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox nên (P) nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 3) + 0(y + 4) + 0(z – 1) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

Ta có (Ozx): y = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Ozx) là .

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Ozx) nên (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x + 2) + 1(y – 4) + 0(z + 1) = 0 ⇔ y – 4 = 0.

Phương trình mặt phẳng (P) là: .

Hai mặt phẳng (P1) và (P2) có vectơ pháp tuyến lần lượt là và .

Vì = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ (– 1) = 0  nên . Vậy (P1) ⊥ (P2).

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

d(M, (P)) = .

Gọi tọa độ điểm C là C(x; y; z). Ta có , .

Vì OBCD là hình chữ nhật nên , tức là .

Vậy C(2; 3; 0).

Ta có: .

Xét vectơ , tức là .

Khi đó, là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).

Vậy mặt phẳng (SBD) có phương trình là:

12(x – 0) + 8(y – 0) + 6(z – 4) = 0 ⇔ 6x + 4y + 3z – 12 = 0.

Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) là:

d(C, (SBD)) = .

Thay tọa độ điểm D(4; 0; 2,8) vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:

4 – 0 + 4 ∙ 2,8 – 13 = 2,2 ≠ 0.

Vậy D không thuộc mặt phẳng (ABC), tức là bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.