Đáp án đúng là: D

Vì \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{ - 1}}{2}\cos 2x} \right)^\prime } = \sin 2x\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x.

Đáp án đúng là: D

Có $\int 2e^{x}dx=2\int e^{x}dx=2e^x+C$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $F\left(x\right)=\int \left(e^x-3e^{-x}\right)dx=e^x+3e^{-x}+C$.

Vì F(0) = 4 nên e⁰ + 3e⁻⁰ + C = 4 Þ C = 0.

Vậy F(x) = e^x + 3e^−x.

Đáp án đúng là: A

Có \(\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)} dx = 4\)\( \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_1^3 = 4\)\( \Leftrightarrow f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 4 + f\left( 1 \right) = 4 + 16 = 20\).

Đáp án đúng là: B

Diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 2x + {x^2} - 4x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left| {2{x^2} - 6x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( {6x - 2{x^2}} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {3{x^2} - \frac{2}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^3\)\( = 9\).

Đáp án đúng là: A

Diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)

\( = \frac{{22}}{{15}} + \frac{{76}}{{15}} + \frac{{22}}{{15}} = 8\).

Đáp án đúng là: D

Thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx\)\( = \pi \left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\( = \pi \left( {1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{4\pi }}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C} } \).

Vì v(0) = 2 nên C = 2.

Do đó \(v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2\).

Vậy \(v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12\) (m/s).

a) \(\int {\left( {{2^x} - \frac{1}{x}} \right)dx = \int {{2^x}dx} - \int {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \ln \left| x \right|} + C\).

b) \(\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} + 3\int {\cos xdx} - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)

\( = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + 3\sin x + 2\cot x + C\).

Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = 2\int {\cos xdx} + \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)

\( = 2\sin x - \cot x + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\) nên \(2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C = - 1\)\( \Rightarrow C = - \sqrt 2 \).

Vậy \(F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2 \).

Chọn chiều dương là chiều hướng từ mặt đất lên.

Ta có a = −9,8 m/s². Do đó v(t) = −9,8t + C.

Vì v(0) = 30 nên C = 30. Do đó v(t) = −9,8t + 30.

Vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây là: v(2) = −9,8.2 + 30 = 10,4 m/s.

Ta có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{2}{5}t + 4} \right)dt = - \frac{{{t^2}}}{5} + 4t + C} \).

Vì thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông nên s(0) = 0, suy ra C = 0.

Do đó \(s\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{5} + 4t\).

Ta có \(s\left( t \right) = - \frac{1}{5}\left( {{t^2} - 20t} \right) = - \frac{1}{5}\left( {{t^2} - 20t + 100} \right) + 20 = - \frac{1}{5}{\left( {t - 10} \right)^2} + 20 \le 20,\forall t \ge 0\).

Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi là 20 km.

a) \(\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} \)\( = \int\limits_1^4 {{x^3}dx} - 2\int\limits_1^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^4\)\( = \frac{{160}}{3} + \frac{{13}}{{12}} = \frac{{653}}{{12}}\).

b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)\( = \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 1 = 0\).

c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = \left. { - \cot x} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = - 1 + \sqrt 3 \).

d) \(\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} \)\( = \int\limits_1^{16} {\sqrt x dx} - \int\limits_1^{16} {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} \)\( = \int\limits_1^{16} {{x^{\frac{1}{2}}}dx} - \int\limits_1^{16} {{x^{ - \frac{1}{2}}}dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^{16}\)\( = \frac{{104}}{3} + \frac{4}{3} = 36\).

a) Thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}} dx\)\( = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - 2{x^2} + {x^4}} \right)} dx\)\( = \left. {\pi \left( {x - \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_{ - 1}^1\)\[ = \pi \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{8}{{15}}} \right) = \frac{{16\pi }}{{15}}\].

b) Thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int\limits_2^4 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_2^4\)\( = \pi \left( {\frac{{236}}{3} - \frac{{142}}{3}} \right) = \frac{{94\pi }}{3}\).

Thể tích đất sét cần sử dụng là:

\(V = \pi \int\limits_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \)

\[ = \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \]

\[ = \pi \int\limits_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \]

\[ = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{2}{{35}}{x^2} + \frac{6}{7}x} \right)dx} \]

\[ = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + \frac{6}{7}x + 25} \right)dx} \]

\[ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{79{x^3}}}{{3675}} + \frac{{3{x^2}}}{7} + 25x} \right)} \right|_{30}^{31}\]

\[ \approx \pi \left( {2240,4 - 2073,2} \right) = 167,2\pi \] (cm³).

Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng 167,2π cm³ đất sét.