u₃ và u₄ lần lượt là diện tích của các hình vuông có cạnh bằng 3 và 4. Do đó ta có:

u₃ = 3² = 9; u₄ = 4² = 16.

Ta có:

u(1) = 1² = 1;

u(2) = 2² = 4;

u(50) = 50² = 2 500;

u(100) = 100² = 10 000.

Ta có:

v(1) = 2.1 = 2;

v(2) = 2.2 = 4;

v(3) = 2.3 = 6;

v(4) = 2.4 = 8;

v(5) = 2.5 = 10.

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn.

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

u(1) = 1³ = 1;

u(2) = 2³ = 8;

u(3) = 3³ = 27;

u(4) = 4³ = 64;

u(5) = 5³ = 125.

a) Dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này là:

$v:\left\{1;2;3;4;5\right\}\to ℝ$

                   $n\mapsto v\left(n\right)=\pi n^2$.

b) Số hạng đầu của dãy số là: v(1) = π.1² = π.

Số hạng cuối của dãy số là: v(5) = π.5² = 25π.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (a_n­) là: a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (b_n­) là:

b₁ = 2.1 = 2;

b₂ = 2.2 = 4;

b₃ = 2.3 = 6;

b₄ = 2.4 = 8.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (C_n­) là:

c₁ = 1;

c₂ = c₁ + 1 = 1 + 1 = 2;

c₃ = c₂ + 1 = 2 + 1 = 3;

c₄ = c₃ + 1 = 3 + 1 = 4.

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n được xác định bởi công thức: d_n = 2πn.

Khi đó bốn số hạng đầu của dãy (d_n­) là:

d₁ = 2π.1 = 2π;

d₂ = 2π.2 = 4π;

d₃ = 2π.3 = 6π;

d₄ = 2π.4 = 8π.

a) Ta có:

n = 2 ≥ 1 nên u₂ = 2.u₁ = 2.3.

n = 3 ≥ 1 nên u₃ = 2.u₂ = 2.(2.3) = 2². 3.

n = 4 ≥ 1 nên u₄ = 2.u₃ = 2.(2².3) = 2³. 3.

b) Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 1}.3.

a) Ta có u₁ = 14, khi đó:

u₂ = 14 + 1 = 15;

u₃ = 15 + 1 = 14 + 2.1;

u₄ = 14 + 3.1

Khi đó công thức tổng quát của dãy số (u­_n) là: u_n = 14 + (n – 1).1.

b) Hệ thức truy hồi của dãy số (u_n) là:  $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=14\\ u_n=u_{n-1}+1\left(n\ge 2\right)\end{array}\right.$.

a) Ta có: a_n = 3n + 1, a_{n + 1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4

Vì n ∈ ℕ^* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay a_{n + 1} > a_n.

b) Ta có: b_n = – 5n, b_{n + 1} = – 5(n + 1) = – 5n – 5

Vì n ∈ ℕ^* nên – 5n – 5 < – 5n hay b_{n – 1} < b_n.

a) Ta có: (u_n) với  $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu  $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\frac{3}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có:  $x_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)+2}{4^{n+1}}=\frac{n+3}{{4.4}^n}$

Xét hiệu  $x_{n+1}-x_n=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{n+1}{4^n}=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{4n+4}{{4.4}^n}=\frac{-3n-1}{{4.4}^n}<0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra x_n+1 < x_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (x_n) là dãy số giảm.

c) Ta có: t_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)²

Xét hiệu: t_n+1 – t_n = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)² – ( – 1)ⁿ.n²

Với n chẵn:

 t_n+1 – t_n = 0 – (n + 1)² – n² < 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 < t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số giảm.

Với n lẻ:

t_n+1 – t_n = (n + 1)² + n² > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 > t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số tăng.

a) (u_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên nên (u_n) là dãy số giảm.

b) (v_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới nên (v_n) là dãy số tăng.

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó   $\frac{1}{n}>0$ hay u_n > 0.

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó   $\frac{1}{n}\le \frac{1}{1}=1$ hay u_n ≤ 1.

Do đó 0 < u_n ≤ 1. 

a) Vì  $-1\le \cos \frac{\pi }{n}\le 1$ nên  $-1\le a_n\le 1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Do đó dãy số (a_n) bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có:   $b_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$ 

 Vì n ∈ ℕ^* nên  $\frac{1}{n+1}>0$ nên  $1-\frac{1}{n+1}<1$ hay b_n < 1.

Vì n ∈ ℕ^* nên  $\frac{n}{n+1}>0$ hay b_n > 0.

Suy ra 0 < b_n < 1. Do đó (b_n) là dãy bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (b_n) bị chặn.

Ta có: n = 2 ≥ 1 nên  $u_2=\frac{u_1}{1+u_1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

n = 3 ≥ 1 nên  $u_3=\frac{u_2}{1+u_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.

n = 4 ≥ 1 nên  $u_4=\frac{u_3}{1+u_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$.

n = 5 ≥ 1 nên  $u_5=\frac{u_4}{1+u_4}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}$.

Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số là:  $u_n=\frac{1}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Ta có:

 $u_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}$;

 $u_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$;

 $u_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

Dự đoán công thức tổng quát:

$u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

a) Vì  $0\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và  $-1\le \cos \frac{n\pi }{4}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên

 $-1\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Do đó  $-1\le a_n\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Suy ra dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có:  $u_n=\frac{6n-4}{n+2}=6-\frac{16}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3

  $\Rightarrow -\frac{16}{n+2}\ge -\frac{16}{3}$

 $\Rightarrow 6-\frac{16}{n+2}\ge 6-\frac{16}{3}$

 $\Rightarrow u_n\ge \frac{2}{3}$.

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó  $\frac{16}{n+2}>0$ khi đó u_n < 6.

Suy ra  $\frac{2}{3}\le u_n<6$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có:  $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+1+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}$ 

Xét hiệu:  $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1}=\frac{\left[\left(n+1\right)a+2\right]\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(na+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

 $=\frac{\left(n^2+2n+1\right)a+2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(n^2+2n\right)a+2n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{a-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Độ dài cạnh của hình vuông số 1 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 2 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 3 là: 2;

Độ dài cạnh của hình vuông số 4 là: 3;

Độ dài cạnh của hình vuông số 5 là: 5;

Độ dài cạnh của hình vuông số 6 là: 8;

Độ dài cạnh của hình vuông số 7 là: 13;

Độ dài cạnh của hình vuông số 8 là: 21.

Ta có dãy số: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21.

Nhận xét: Dãy số trên có đặc điểm là:

Trong ba số hạng liên tiếp, số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng đầu.