Đáp án đúng là: C

Ta có $x^{–3}=\frac{1}{x^3}$

Khi đó hàm số $x^{–3}=\frac{1}{x^3}$  xác định ⇔ x ≠ 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{x^3}$

Khi đó hàm số $x^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{x^3}$  xác định với mọi x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = log_0,5(2x – x²) xác định ⇔ 2x – x² > 0

⇔ x² – 2x < 0 ⇔ x(x – 2) < 0

⇔ 0 < x < 2.

Vậy tập xác định của y = log_0,5(2x – x²) là (0; 2).

Đáp án đúng là: C

Vì 0 < 0,5 < 1 nên hàm số y = (0,5)^x nghịch biến trên ℝ;

Vì $0<\frac{2}{3}<1$  nên hàm số $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$  nghịch biến trên ℝ;

Vì $\sqrt{2}>1$  nên hàm số $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$  đồng biến trên ℝ;

Vì $0<\frac{e}{\pi }<1$  nên hàm số $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x$  nghịch biến trên ℝ.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = log_ax nghịch biến trên tập xác định của nó khi 0 < a < 1.

Mà $3>1,\sqrt{3}>1,\pi >1,0<\frac{1}{e}<1$

Suy ra hàm số $y={\log }_{\frac{1}{e}}x$  nghịch biến trên tập xác định của nó.

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3^2x = (3^x)² = 5² = 25.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A=4^{{\log }_{2}3}=2^{2{\log }_{2}3}=2^{{\log }_2{3}^2}=3^2=9.$

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có: log_ab² = 2log_ab = 2 . 3 = 6.

Đáp án đúng là: B

Ta có: 3^{2x – 5} = 27 ⇔ 3^{2x – 5} = 3³ ⇔ 2x – 5 = 3 ⇔ x = 4.

Đáp án đúng là: A

Ta có log_0,5(2 – x) = –1 ⇔ 2 – x = 0,5^–1 ⇔ 2 – x = 2 ⇔ x = 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có (0,2)^x > 1 ⇔ x < log_0,21 ⇔ x < 0.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–∞; 0).

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\log }_{\frac{1}{4}}x>-2\iff 0<x<{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}\iff 0<x<16$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (0; 16).

Đáp án đúng là: A

Từ các đồ thị hàm số trên Hình 14 ta thấy:

⦁ Hàm số y = c^x nghịch biến trên ℝ nên 0 < c < 1;

⦁ Hai hàm số y = a^x và y = b^x đồng biến trên ℝ nên a > 1 và b > 1.

Thay cùng giá trị của x = x₀ (với x₀ > 0) vào hai hàm số y = a^x và y = b^x ta thấy  nên a < b

Suy ra c < a < b.

Đáp án đúng là: D

Từ các đồ thị hàm số trên Hình 15 ta thấy:

⦁ Hàm số y = log_ax đồng biến trên (0; +∞) nên a > 1;

⦁ Hai hàm số y = log_bx và y = log_cx nghịch biến trên (0; +∞) nên 0 < b < 1; 0 < c < 1.

Thay cùng giá trị của x = x₀ (với x₀ ∈ (0; +∞)) vào hai hàm số ta thấy log_bx₀ > log_cx₀

Mà 0 < b < 1; 0 < c < 1 nên b < c.

Suy ra b < c < a.

Ta có: $A=\sqrt[3]{5\sqrt{\frac{1}{5}}}=\sqrt[3]{5\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{5\cdot 5^{-\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{5^{\frac{1}{2}}}=5^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{6}}$

Vậy $A=a^{\frac{1}{6}}.$

$a=\sqrt{2}\Rightarrow a^2=2$

Ta có: $B=\frac{4\sqrt[5]{2}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2^2\cdot 2^{\frac{1}{5}}}{4^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac{11}{5}}}{2^{\frac{2}{3}}}=2^{\frac{23}{15}}={\left(a^2\right)}^{\frac{23}{15}}=a^{\frac{46}{15}}$

Vậy $B=a^{\frac{46}{15}}.$

Ta có:

$$\begin{gathered} A=\frac{x^{\frac{5}{4}}\cdot y+x\cdot y^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}=\frac{x^{\frac{1}{4}}\cdot x\cdot y+x\cdot y\cdot y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}=\frac{xy\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)}{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}=xy; \\ B={\left(\sqrt[7]{\frac{x}{y}\sqrt[5]{\frac{y}{x}}}\right)}^{\frac{35}{4}}={\left(\sqrt[7]{\frac{x}{y}\cdot {\left(\frac{x}{y}\right)}^{\frac{-1}{5}}}\right)}^{\frac{35}{4}}={\left(\sqrt[7]{{\left(\frac{x}{y}\right)}^{\frac{4}{5}}}\right)}^{\frac{35}{4}}={\left[{\left(\frac{x}{y}\right)}^{\frac{4}{35}}\right]}^{\frac{35}{4}}=\frac{x}{y}. \end{gathered}$$

Hàm số $y=\frac{5}{2^x-3}$  xác định ⇔ 2^x – 3 ≠ 0 ⇔ 2^x ≠ 3 ⇔ x ≠ log₂3.

Vậy tập xác định của hàm số  là D = ℝ \ {log₂3}.

Hàm số $y=\sqrt{25-5^x}$  xác định ⇔ 25 – 5^x ≥ 0 ⇔ 5^x ≤ 25 ⇔ 5^x ≤ 5² ⇔ x ≤ 2

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{25-5^x}$  là D = (–∞; 2].

Hàm số $y=\frac{x}{1-\ln x}$  xác định $\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 1-\ln \text{x}\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ ln\text{x}\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne e\end{array}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{x}{1-\ln x}$ là D = (0; +∞) \ {e}.

Hàm số $y=\sqrt{1-{\log }_{3}x}$  xác định $\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 1-{\log }_3\text{x}\ge 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x\le 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x\le 3\end{array}\right.\iff 0<x\le 3$

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-{\log }_{3}x}$  là D = (0; 3].

Ta có:

$$\begin{gathered} {\text{a}}^6={\left(a^{\frac{3}{5}}\right)}^{10}=b^{10}; \\ {\text{a}}^{3}b={\left(a^{\frac{3}{5}}\right)}^5\cdot b=b^5\cdot b=b^6; \\ \frac{{\displaystyle a^9}}{{\displaystyle b^9}}=\frac{{\displaystyle {\left(a^{\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 5}}}\right)}^{15}}}{{\displaystyle b^9}}=\frac{{\displaystyle b^{15}}}{{\displaystyle b^9}}=b^6. \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} b=a^{\frac{3}{5}}\Rightarrow {\log }_{a}b={\log }_a{a}^{\frac{3}{5}}=\frac{3}{5}; \\ {\log }_a\left(a^2{b}^5\right)={\log }_a{a}^2+{\log }_a{b}^5=2{\log }_{a}a+5{\log }_{a}b=2+5\cdot \frac{3}{5}=2+3=5; \\ {\log }_{\sqrt[5]{a}}\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{\sqrt[5]{a}}a-{\log }_{\sqrt[5]{a}}b=5{\log }_{a}a-5{\log }_{a}b=5-5\cdot \frac{3}{5}=5-3=2. \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm là x ∈ {1; 3}.

0,5^2x–4 = 4

⇔ 2x – 4 = log_0,54

$$\begin{gathered} \iff 2\mathrm{x}–4={\log }_{2^{-1}}{2}^2 \\ \iff 2\mathrm{x}–4=-2{\log }_{2}2 \end{gathered}$$

⇔ 2x – 4 = –2

⇔ 2x = 2

⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

log₃(2x – 1) = 3

⇔ 2x – 1 = 3³

⇔ 2x – 1 = 27

⇔ 2x = 28

⇔ x = 14.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 14.

logx + log(x – 3) = 1

Điều kiện xác định là $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-3>0\end{array}\right.,$ tức là x > 3. Ta có:

logx + log(x – 3) = 1

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ log\left[x\left(x–3\right)\right]=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ x\left(x–3\right)={10}^1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ x^2-3x-10=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ \left(x-5\right)\left(x+2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ \left[\begin{array}{l}x-5=0\\ x+2=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff x=5 \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.

5^x < 0,125 ⇔ x < log₅0,125          

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (−∞; log₅0,125)

⇔ 2x + 1 ≤ –1

⇔ 2x  ≤ –2

⇔ x ≤ –1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (–∞; –1].

log_0,3x > 0 ⇔ 0 < x < 0,3⁰ ⇔ 0 < x < 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (0; 1).

ln(x + 4) > ln(2x – 3)

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3>0\\ x+4>2x–3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{3}{2}\\ x<7\end{array}\right.\iff \frac{3}{2}<x<7.$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $\left(\frac{3}{2};7\right).$

a) Thay M = 5 vào công thức logE ≈ 11,4 + 1,5M, ta có năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter là:

logE ≈ 11,4 + 1,5 . 5 = 18,9

Suy ra E ≈ 10^18,9 (J)

Vậy năng lượng giải toả tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter là E ≈ 10^18,9 J.

b) Thay M = 8 vào công thức logE ≈ 11,4 + 1,5M, ta có năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter là:

logE ≈ 11,4 + 1,5 . 8 = 23,4

Suy ra E ≈ 10^23,4 (J)

Do đó năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 8 độ Richter gấp khoảng $\frac{{10}^{23,4}}{{10}^{18,9}}\approx 31623$ lần năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn ở 5 độ Richter.

Do độ phóng xạ của ${}_6{}^{14}C$  bằng 86% độ phóng xạ của mẫu gỗ tươi cùng loại nên ta có:

H = 86%H₀

⇔ H₀e^–λt = 0,86H₀

⇔ e^–λt = 0,86

⇔ –λt = ln0,86

$\iff t=\frac{\ln 0,86}{-\lambda }$

Mà hằng số phóng xạ là: $\lambda =\frac{\ln 2}{T}=\frac{\ln 2}{5730}$

Do đó $t=\frac{\ln 0,86}{-\frac{\ln 2}{5730}}=-\frac{5730\cdot \ln 0,86}{\ln 2}\approx 1247$ (năm)

Vậy độ tuổi của mẫu gỗ cổ đó là khoảng 1 247 năm.