Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Để dân số S’ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính S thì S = 2A nên ta có:

Ta có 2A = A . e^rt

Suy ra e^rt = 2

Do đó rt = ln2

Nên $t=\frac{\ln 2}{r}$

Vậy sau $\frac{\ln 2}{r}$  thì dân số sẽ gấp đôi dân số của năm lấy làm mốc tính.

a) Ta có công thức S = A . e^rt, trong đó:

⦁ A là dân số của năm lấy làm mốc tính;

⦁ S là dân số sau t năm;

⦁ r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm, và r = 1,14%.

Để dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu thì S = 2A

Suy ra 2A = A . e^1,14%t nên e^0,0114t = 2.

Vậy phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu là e^0,0114t = 2.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là t nằm ở số mũ của lũy thừa.

Hai ví dụ về phương trình mũ là: 3^x+1 = 9 và 5^2x = 25.

a) ⦁ Xét hàm số y = 3^x có cơ số 3 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = 3^x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(-1;\frac{1}{3}\right);B\left(0;1\right);C\left(1;3\right);D\left(2;9\right)$ (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số y = 7 có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm có tung độ bằng 7 (hình vẽ).

b) Đồ thị hàm số y = 3^x cắt đường thẳng y = 7 tại 1 điểm.

Vậy phương trình 3^x = 7 có 1 nghiệm.

a) 9^{16 – x} = 27^{x + 4}

⇔ 3^{2(16 – x)} = 3^{3(x + 4)}

⇔ 2(16 – x) = 3(x + 4)

⇔ 32 – 2x = 3x + 12

⇔ –5x = –20

⇔ x = 4.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

b) 16^{x – 2} = 0,25 . 2^{–x + 4}

⇔ 2^{4(x – 2)} = 0,25 . 2^{–x + 4}

⇔ 2^{4(x – 2)} : 2^{–x + 4} = 0,25

⇔ 2^{5x – 12}  = 2⁻²

⇔ 5x – 12  = −2

⇔ 5x  = 10

⇔ x  = 2.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

a) Ta có pH = 6,1 suy ra – log[H⁺] = 6,1 ⇔ – logx = 6,1.

Vậy phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen [H⁺] trong mẫu nước sông đó là:

– logx = 6,1.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn x nằm trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Hai ví dụ về phương trình lôgarit là: log₂(x + 3) = 8 và log₃(x² + x + 1) = 2.

a) ⦁ Xét hàm số y = log₄x có cơ số 4 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = log₄x là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right);B\left(1;0\right);C\left(2;\frac{1}{2}\right);D\left(4;1\right);E\left(8;\frac{3}{2}\right)$ (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số y = 5 có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm có tung độ bằng 5 (hình vẽ).

b) Từ bảng biến thiên của hàm số y = log₄x ta thấy đường thẳng y = 5 cắt đồ thị hàm số y = log₄x tại 1 điểm.

Khi đó phương trình log₄x = 5 có 1 nghiệm.

$$\begin{gathered} {\log }_5\left(2x-4\right)+{\log }_{\frac{1}{5}}\left(x-1\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-4>0\\ {\log }_5\left(2x-4\right)=-{\log }_{5^{-1}}\left(x-1\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ {\log }_5\left(2x-4\right)={\log }_5\left(x-1\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ 2\text{x}-4=x-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x=3\end{array}\right. \\ \iff x=3 \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

log₂x + log₄x = 3

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x+{\log }_{2^2}x=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x+\frac{1}{2}{\log }_{2}x=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ \frac{3}{2}{\log }_{2}x=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{2}x=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x=2^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x=4\end{array}\right. \\ \iff x=4 \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

Từ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ở Hình 11 ta thấy hàm số này nghịch biến trên ℝ.

Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ở phía trên đường thẳng y = 2 khi và chỉ khi x < −1.

Do đó ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>2\iff x<-1.$

Hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản là 3^x < 27 và 4^x ≥ 16.

a) 7^x+3 < 343

⇔ x + 3 < log₇343

⇔ x + 3 < 3

⇔ x < 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–∞; 0).

b) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ge 3$

$\iff x\le {\log }_{\frac{1}{4}}3$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;\left.{\log }_{\frac{1}{4}}3\right]\right.$

Hàm số y = log₂x đồng biến trên tập xác định (0; +∞).

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = log₂x ở phía trên đường thẳng y = 1 khi và chỉ khi x > 2.

Vậy log₂x > 1 ⇔ x > 2.

Hai ví dụ về bất phương trình logarit cơ bản là logx > 1 và log₃x ≤ 6.

a) log₃x < 2

⇔ 0 < x < 3²

⇔ 0 < x < 9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0; 9).

b) ${\log }_{\frac{1}{4}}\left(x-5\right)\ge -2$

$\iff 0<x-5\le {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}$

⇔ 0 < x – 5 ≤ 16

⇔ 5 < x ≤ 21

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (5; 21].

a) (0,3)^x–3 = 1 ⇔ x – 3 = log_0,31 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.

b) 5^3x–2 = 25

⇔ 5^3x–2 = 5²

⇔ 3x – 2 = 2

$\iff x=\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{4}{3}.$

c) 9^x–2 = 243^x+1 ⇔ 3^2x–4 = 3^5x+5

⇔ 2x – 4 = 5x + 5 ⇔ 3x = –9 ⇔ x = –3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –3.

d) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)=-3\iff x+1={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\iff x+1=8\iff x=7$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 7.

e) log₅(3x – 5) = log₅(2x + 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-5>0\\ 3x–5=2x+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{5}{3}\\ x=6\end{array}\right.\iff x=6.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.

f) $\log \frac{1}{7}\left(x+9\right)=\log \frac{1}{7}\left(2x-1\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+9=2x-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x=10\end{array}\right.\iff x=10.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 10.

a) $3^x>\frac{1}{243}\iff x>{\log }_3\frac{1}{243}\iff x>{\log }_3\frac{1}{3^5}\iff x>{\log }_3{3}^{-5}\iff x>-5$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (–5; +∞). 

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x-7}\le \frac{3}{2}\iff 3x-7\ge {\log }_{\frac{2}{3}}\frac{3}{2}$

$\iff 3x-7\ge {\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\iff 3x-7\ge -1\iff x\ge 2.$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [2; +∞). 

c) 4^x+3 ≥ 32^x ⇔ x + 3 ≥ log₄32^x ⇔ x + 3 ≥ xlog₄32

$$\begin{gathered} \iff x+3\ge xlo{g}_{2^2}{2}^5\iff x+3\ge x\cdot \frac{1}{2}\cdot 5\cdot lo{g}_{2}2 \\ \iff x+3\ge \frac{5}{2}x\iff \frac{-3}{2}x\ge -3\iff x\le 2. \end{gathered}$$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (−∞; 2].

d) log(x – 1) < 0 ⇔ 0 < x – 1 < 10⁰

⇔ 0 < x – 1 < 1 ⇔ 1 < x < 2

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (1; 2).

e) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{5}}\left(x+3\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ 2x–1\le x+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x\le 4\end{array}\right.\iff \frac{1}{2}<x\le 4$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left(\frac{1}{2};4\right].$

g) ln(x + 3) ≥ ln(2x – 8)

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-8>0\\ x+3\ge 2x–8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>4\\ x\le 11\end{array}\right.\iff 4<x\le 11.$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là (4; 11].

Công thức tính số tiền rút được (cả gốc và lãi) sau n năm là: 100(1 + x%)ⁿ (triệu đồng).

Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng nên ta có:

100(1 + x%)³ = 119,1016

$$\begin{gathered} \iff {\left(1+\frac{x}{100}\right)}^3=1,191016 \\ \iff 1+\frac{x}{100}=\sqrt[3]{1,191016}=1,06 \end{gathered}$$

$\iff \frac{x}{100}=0,06\iff x=6$ (thỏa mãn x > 0).

Vậy lãi xuất là 6% / năm.

Ta có công thức tính mức cường độ âm L (đơn vị dB) là $L=10\log \frac{I}{{10}^{-12}}$

Do giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130dB nên ta có L ≤ 130

$$\begin{gathered} \iff 10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 130\iff \log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 13 \\ \iff \frac{I}{{10}^{-12}}\le {10}^{13} \\ \iff I\le {10}^{13}{.10}^{-12}\iff I\le 10 \end{gathered}$$

Vậy cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 10 W/m².