Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho \[AD = \frac{3}{5}AB\].

Từ D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại E.

Ta có ∆ADE ᔕ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng \[k = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{3}{5}\].

Dựng ∆A’B’C’ = ∆ADE.

Dựng A’B’ = AD.

Dựng cung tròn tâm A’ bán kính AE và cung tròn tâm B’ bán kính DE, hai cung tròn cắt nhau tại C’.

Nối B’C’, A’C’ ta được tam giác phải dựng.

Ta có ∆ADE ᔕ ∆ABC theo tỉ số\[k = \frac{3}{5}\] nên ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC theo tỉ số \[k = \frac{3}{5}\].

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // BC.

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆AMN. Mà ∆ADE ᔕ ∆ABC, suy ra ∆ADE ᔕ ∆AMN.

∆ADE ᔕ ∆ABC theo tỉ số \[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{3}\].

∆ABC ᔕ ∆AMN theo tỉ số \[\frac{{AB}}{{AM}} = 2\] (vì M là trung điểm AB).

Suy ra \[\frac{{AD}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{2}{3}.2 = \frac{4}{3}\] hay \[\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{4}{3}\].

Vậy ∆ADE ᔕ ∆AMN theo tỉ số \[\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{4}{3}\].

Ta có ∆ABC ᔕ ∆DEE nên \[\widehat E = \widehat B\]= 34°.

Vậy \[\widehat E = 34^\circ \].

Ta có ∆ABC ᔕ ∆DEE suy ra

\[\frac{{AD}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{AC}}{{DF}}\] hay \[\frac{{AB}}{{4,2}} = \frac{{3,6}}{{EF}} = \frac{2}{3}\].

Suy ra \[\frac{{AB}}{{4,2}} = \frac{2}{3}\] và \[\frac{{3,6}}{{EF}} = \frac{2}{3}\].

Do đó \[AB = \frac{{2.4,2}}{3} = 2,8\] và \[EF = \frac{{3,6.3}}{2} = 5,4\].

Vậy AB = 2,8 và EF = 5,4.

Ta có UV // RT suy ra ∆SUV ᔕ ∆SRT.

Ta có \[\widehat {RVU} = \widehat {VRT}\] (so le trong), \[\widehat {URV} = \widehat {VRT}\] (RV là tia phân giác \[\widehat {SRT}\]).

Suy ra \[\widehat {RVU} = \widehat {URV}\] nên ∆RUV cân tại U. Do đó UR = UV.

Mà \[\frac{{SU}}{{SR}} = \frac{{UV}}{{RT}}\] (∆SUV ᔕ ∆SRT). Suy ra\[\frac{{SU}}{{UR}} = \frac{{SR}}{{RT}}\].

Ta có AE //  DC (ABCD là hình bình hành).

Suy ra ∆IAE ᔕ ∆IDC, suy ra \[\frac{{IE}}{{IC}} = \frac{{AE}}{{DC}}\] hay \[\frac{{2,86}}{{x - 3}} = \frac{{3,2}}{{6,4}}\].

Khi đó x – 3 = 5,6, suy ra x = 5,6 + 3 = 8,6.

Vậy x = 8,6.

• Vì ∆ABC ᔕ ∆DEF nên ta có

\[\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{AC}}{{DF}}\] hay \[\frac{{AB}}{{4,2}} = \frac{{3,6}}{{EF}} = \frac{2}{3}\].

Suy ra \[\frac{{AB}}{{4,2}} = \frac{2}{3}\] và \[\frac{{3,6}}{{EF}} = \frac{2}{3}\].

Do đó \[AB = \frac{{2.4,2}}{3} = 2,8\] và \[EF = \frac{{3.3,6}}{2} = 5,4\].

• Vì ∆DEF ᔕ ∆IHK nên ta có

\[\frac{{DE}}{{IH}} = \frac{{EF}}{{HK}} = \frac{{DF}}{{IK}}\] hay \[\frac{{4,2}}{{IH}} = \frac{{5,4}}{{HK}} = \frac{3}{{4,5}} = \frac{2}{3}\].

Suy ra \[\frac{{4,2}}{{IH}} = \frac{2}{3}\] và \[\frac{{5,4}}{{HK}} = \frac{2}{3}\].  

Do đó \[IH = \frac{{4,2.3}}{2} = 6,3\] và \[HK = \frac{{3.5,4}}{2} = 8,1\]

Vậy AB = 2,8; EF = 5,4; IH = 6,3 và HK = 8,1.

Ta có AD //  BC, suy ra ∆IDA ᔕ ∆IBC.

Ta có ∆IDA ᔕ ∆IBC, suy ra \[\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\] hay \[\frac{{12}}{{36}} = \frac{{17}}{{BC}}\].

Suy ra \[BC = \frac{{17.36}}{{12}} = 51\] (m).

Vậy BC = 51 m.