Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, suy ra $\widehat{\text{ODN}}=\widehat{\text{OBM}}$ (hai góc so le trong);

OB = OD (tính chất đường chéo của hình bình hành);

Xét ∆DON và ∆BOM ta có:

$\widehat{\text{ODN}}=\widehat{\text{OBM}}$;

OD = OB;

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra ∆DON = ∆BOM (g.c.g).

Do đó OM = ON (hai cạnh tương ứng)

Vậy O là trung điểm của MN.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{CDB}}$ (hai góc so le trong) hay $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$.

Xét ∆AHB vuông tại H và ∆CKD vuông tại K, ta có:

AB = CD (do ABCD là hình bình hành); $\widehat{\text{ABH}}=\widehat{\text{CDK}}$ (chứng minh trên).

Suy ra ∆AHB  = ∆CKD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AH ⊥ BD, CK ⊥ BD suy ra AH // CK.

Tứ giác AHCK có: AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành.

b) Vì AHCK là hình bình hành nên AK // CH, hay AM // CN. (1)

Hơn nữa, ABCD là hình bình hành và N ∈ AD, M ∈ BC nên AN // CM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ANCM là hình bình hành.

Vậy AN = CM.

c) Tứ giác AHCK là hình bình hành có hai đường chéo AC, HK cắt nhau tại trung điểm

O của HK nên O cũng là trung điểm của AC.

Tứ giác ANCM là hình bình hành có hai đường chéo AC, NM cắt nhau tại trung điểm

O của AC nên O cũng là trung điểm của MN.

Vậy M, O, N thẳng hàng.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, suy ra $\widehat{\text{AMO}}=\widehat{\text{CNO}};\widehat{\text{MAO}}=\widehat{\text{NCO}}$ (các cặp góc so le trong).

Xét ∆AOM và ∆CON ta có:

$\widehat{\text{AMO}}=\widehat{\text{CNO}}$ (chứng minh trên);

AM = CN (giả thiết);

$\widehat{\text{MAO}}=\widehat{\text{NCO}}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆AOM = ∆CON  (g.c.g).

Suy ra OA = OC (hai cạnh tương ứng)

Xét hình bình hành ABCD có O là trung điểm của đường chéo AC nên O cũng là trung điểm của đường chéo BD.

Do đó ba điểm B, O, D thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Suy ra $\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AMB và ∆CND, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABM}}=\widehat{\text{CDN}}$ (chứng minh trên);

BM = DN (giả thiết).

Suy ra ∆AMB = ∆CND (c.g.c).

b) Ta có ∆AMB = ∆CND (theo câu a), suy ra AM = CN (1)

Ta có: BM + MN = BN và DN + MN = DM; mà BM = DN, suy ra BN = DM.

Xét ∆ABN và ∆CDM, ta có:

AB = CD (chứng minh trên);

$\widehat{\text{ABN}}=\widehat{\text{CDM}}\text{ ;}$

BN = DM (chứng minh trên)

Suy ra ∆ABN = ∆CDM (c.g.c), suy ra AN = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Vì AMCN là hình bình hành nên OA = OC.

∆ABC có OA = OC, suy ra BO là đường trung tuyến của ∆ABC.

ABCD là hình bình hành nên khi O là trung điểm của đường chéo AC thì O cũng là trung điểm của đường chéo BD, khi đó $BO=\frac{1}{2}BD$

Ta lại có: $BM=\frac{1}{3}BD$, suy ra $BM=\frac{2}{3}BO$

Do đó M là trọng tâm ∆ABC.

Khi đó $AM=\frac{2}{3}AI,MI=\frac{1}{3}AI.$ Suy ra AM = 2MI.

d) Vì AMCN là hình bình hành nên AM // CN, mà M ∈ AI, N ∈ CK, nên AI // CK. (3)

Hơn nữa, AD // BC, K ∈ AD, I ∈ BC, nên AK // CI (4)

Từ (3), (4) suy ra AKCI là hình bình hành.

Mà O là trung điểm của AC, suy ra O cũng là trung điểm của KI hay I và K đối xứng nhau qua O.

a) Ta có: MF ⊥ CE, AB ⊥ CE, suy ra MN // AB // CD.

Xét tứ giác MDCN ta có: MD // CN (do AD // BC; M ∈ AD, N ∈ BC) và MN // CD (chứng minh trên).

Do đó tứ giác MDCN là hình bình hành.

Mặt khác M là trung điểm của AD nên $\text{MD}=\frac{1}{2}\text{AD}$

Lại có AD = 2AB mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên $\text{CD}=AB=\frac{1}{2}\text{AD}$

Do đó MD = CD.

Suy ra hình bình hành MDCN là hình thoi.

b) Xét tứ giác ADCE ta có AE // CD (theo câu a).

Do đó, tứ giác ADCE là hình thang với hai đáy AE và CD.

Xét hình thang ADCE có:

M là trung điểm AD (giả thiết);

AE // MF // CD (theo câu a).

Theo chứng minh ở Bài 5, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: F là trung điểm của CE.

Xét ∆EMC có MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE và MF ⊥ CE (giả thiết).

Do đó ∆EMC cân tại M.

c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên $\widehat{\text{NMD}}=2\widehat{\text{NMC}}$ (tính chất đường chéo của hình thoi).

Mà ∆EMC cân tại M nên $\widehat{EMF}=\widehat{CMF}$

Ta có $\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{NMD}}=2\widehat{\text{NMC}}=2\widehat{\text{EMF}}$. (1)

Lại có $\widehat{\text{AEM}}=\widehat{\text{EMF}}$ (hai góc so le trong). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{BAD}}=2\widehat{\text{AEM}}$.

*Phương pháp giải:

 Nắm vững kiến thức và cách làm các bài toán về hình bình hành và hình thoi 

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hình bình hành - hình thoi:

 1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành$\iff \{\begin{array}{c}AB//CD\\ AD//BC\end{array}$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

HÌNH THOI: 

1. Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

ABCD là hình thoi$\iff$ AB = BC = CD = DA.

Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành.

2. Tính chất:

- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

- Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau;

b) Hai đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết:

a) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;

b) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;

c) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi;

d) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi

Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình thoi

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Toán 8 Bài 4 giải vở bài tập (Chân trời sáng tạo): Hình bình hành – Hình thoi 

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8 

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD. (1)

Xét hình bình hành AECF có O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba đường thẳng EF, AC, BD đồng quy tại O.

Xét ∆ABD ta có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có MN // AD và $\text{MN}=\frac{\text{AD}}{2}$.

Xét ∆ACD ta có P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có PQ // AD và $\text{PQ}=\frac{\text{AD}}{2}$.

Xét tứ giác MNPQ ta có MN // PQ (vì cùng song song với AD) và $\text{MN}=\text{PQ}\left(=\frac{\text{AD}}{2}\right)$

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên OA = OC và OB = OD.

Ta có: $\text{ON}=\frac{1}{2}\text{OD}$ (N là trung điểm của OD); $\text{OM}=\frac{1}{2}\text{OB}$ (M là trung điểm của OB); OB = OD (chứng minh trên).

Suy ra OM = ON.

Xét tứ giác AMCN ta có: OM = ON, OA = OC (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác AMCN là hình bình hành.