Vẽ các điểm M, N, P như hình vẽ.

Do tam giác ABM vuông tại M nên theo định lý Pythagore, ta có:

AB² = MB² + MA² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29        

Suy ra \[AB = \sqrt {29} \;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

Tương tự, ta có:

• BC² = NB² + NC² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20. Suy ra \[BC = \sqrt {20} \;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

• AD² = AP² + DP² = 6² + 1² = 36 + 1 = 37. Suy ra \[AD = \sqrt {37} \;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy chu vi tứ giác ABCD là:

\[AB + BC + CD + AD = \sqrt {29} + \sqrt {20} + 2 + \sqrt {37} \approx 17,94\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên theo định lý Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32

Suy ra \[BC = \sqrt {32} \approx 5,66\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \); AD là cạnh chung; AB = AC

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng)

Hay D là trung điểm của BC.

Do đó \[CD = \frac{{BC}}{2} \approx \frac{{5,66}}{2} = 2,83{\rm{\;}}\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do tam giác ACD vuông tại D nên áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC² = AD² + DC²

Suy ra \[A{D^2} = A{C^2} - D{C^2} = {4^2} - {\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{2}} \right)^2} = 16 - \frac{{32}}{4} = 16 - 8 = 8\]

Do BD ⊥ d nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \), do đó tam giác ABD vuông tại D

Suy ra \(\widehat {ABD} + \widehat {BAD} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°) (1)

Mà \[\widehat {BAD} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {BAD} + \widehat {CAE} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {CAE}\).

Xét ∆ABD vuông tại D và ∆CAE vuông tại E có:

AB = CA, \(\widehat {ABD} = \widehat {CAE}\)

Do đó ∆ABD = ∆CAE (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AD = CE (hai cạnh tương ứng)

Khi đó AD² + AE² = CE² + AE² = AC² (do tam giác CAE vuông tại E)

Vậy AD² + AE² không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.