Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết ta có, hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quan sát Hình 7, ta thấy

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1, x = 3 và x = 5 vì không tồn tại giá trị của f(x) khi x = 1, x = 3 và x = 5.

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0 nên đáp án D sai.

Dựa vào đồ thị, ta có:

Hàm số không liên tục tại x = \(\frac{5}{3}\) vì giá trị hàm số không xác định tại x = \(\frac{5}{3}\).

Hàm số liên tục trên khoảng(− ∞; 0).

Vì hai hàm số y = – x² và y = cos x đều liên tục trên tập xác định của chúng là ℝ nên hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + \cos x\) liên tục trên ℝ.

Vì hàm số y = 3x³ + 2 liên tục trên ℝ, hàm số \(y = \frac{3}{{x + 2}}\) liên tục trên hai khoảng (−∞; – 2) và (– 2; +∞) nên hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^3} + 2 - \frac{3}{{x + 2}}\) liên tục trên hai khoảng (–∞; – 2) và (− 2; +∞).

Vì hàm số \(y = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}}\) liên tục trên hai khoảng (–∞; – 2) và (− 2; +∞), hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 4}}\) liên tục trên hai khoảng (−∞; 2) và (2; +∞) nên hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x + 5}}{{x + 2}} + \frac{{3x - 1}}{{2x - 4}}\) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2), (–2; 2), (2; +∞).

Với a = 2, ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\\x + 2\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\end{array} \right.\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x} \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\). Suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x = 1 khi a = 2.

Với x < 1 thì f(x) = x + a liên tục trên (−∞; 1).

Với x > 1 thì f(x) = x² – x liên tục trên (1; +∞).

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 1.

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0\).

Như vậy, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + a} \right) = 1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên ℝ khi a = −1.

Từ giả thiết, ta có hàm số biểu diễn số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp theo khối lượng của thư cơ bản và bưu thiếp là:

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}4\,000\,\,\,khi\,\,\,0 < x \le 20\\6\,000\,\,\,khi\,\,20 < x \le 100\\8\,000\,\,\,khi\,\,100 < x \le 250\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số trên là (0; 250].

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} f\left( x \right) = 4\,000\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} f\left( x \right) = 6\,000\).

Suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} f\left( x \right)\).

Do đó, hàm số không liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số không liên tục trên tập xác định (0; 250].