Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) của (E) ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 36}\\{{b^2} = 16}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 5 \)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 5 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 5 ;0} \right)\)và có tiêu cự là: \(2c = 4\sqrt 5 \).

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\) của (H) ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 16}\\{{b^2} = 20}\end{array}} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6\)

Vậy (H) có hai tiêu điểm là F₁ (–6; 0), F₂(6; 0) và có tiêu cự là 2c = 12.

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình chính tắc y² = 4x của (P) ta có:

2p = 4 ⇔ p = 2 ⇔ \(\frac{p}{2} = 1\) .

Vậy (P) có tiêu điểm là F(1; 0) và có đường chuẩn là Δ: x = –1.

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a > b > 0)

Vì (E) đi qua điểm A(6; 0) nên ta có \(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇔ a² = 6²

Do (E) có tiêu cự là 2c = 8 nên ta có c = 4 ⇒ b² = a² – c² = 6² – 4² = 20.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a, b > 0)

Do (H) có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên ta có:

c = 5 ⇒ b² + a² = c² = 25 ⇔ a² = 25 – b²

Vì (H) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ;4} \right)\)nên ta có

\(\frac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{18}}{{{a^2}}} - \frac{{16}}{{{b^2}}} = 1\)                  (1)

Đặt t = b² (t > 0) ⇒ a² = 25 – t. Thay vào (1) ta được

\(\frac{{18}}{{25 - t}} - \frac{{16}}{t} = 1\)

⇒ 18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

⇔ 18t – 400 + 16t = 25t – t²

⇔ t² + 9t – 400 = 0

⇔ t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)

Do đó, b² = t = 16, a² = 25 – t = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y² = 2px, trong đó p > 0.

Vì (P) có đường chuẩn là Δ: x + 4 = 0 ⇔ x = –4 ⇔ –p : 2 = –4 ⇔ p = 8

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 16x.

Gọi M (x₀; y₀).

Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M, Δ) = MF = 5 với F là tiêu điểm của (P) và F(4; 0).

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5\)

⇔ |x₀ + 4| = 5 (*)

TH1: x₀ + 4 ≥ 0 hay x₀ ≥ –4

 (*) ⇔ x₀ + 4 = 5 ⇔ x₀ = 1 (thỏa mãn)

TH2: x₀ + 4 < 0 hay x₀ < –4

 (*) ⇔ –x₀ – 4 = 5 ⇔ x₀ = –9 (thỏa mãn)

Với x₀ = –9, thay vào phương trình của (P) ta được y₀² = 16.(–9) = –144 < 0 (không thể tồn tại)

Với x₀ = 1, thay vào phương trình của (P) ta được y₀² = 16.1 = 16 ⇔ y₀  = ±4

Vậy M(1; 4) hoặc M(1; –4).

Hướng dẫn giải

Gọi vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b} \right)\). Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4 + at}\\{y = 0 + bt = bt}\end{array}} \right.\).

Toạ độ giao điểm của Δ và (P) ứng với thoả mãn phương trình

(bt)² =16 . (4 + at) ⇔ b²t² – 16at – 64 = 0. (1)

Phương trình (1) có Δ’ = 64a² + 64b² > 0 (do b ≠ 0), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi A(4 + at₁; bt₁), B(4 + at₂; bt₂), trong đó t₁, t₂ là hai nghiệm của phương trình (1).

Ta có

\(d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \frac{{\left| {b{t_1}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}.\frac{{\left| {b{t_2}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {{b^2}.{t_1}{t_2}} \right|\)

Dựa vào phương trình (1). Theo định lí Vi–ét ta có: \({t_1}{t_2} = \frac{{ - 64}}{{{b^2}}}\). Từ đó suy ra

\(d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \left| {{b^2}.\frac{{ - 64}}{{{b^2}}}} \right| = 64\)

Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó a > b > 0).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên OA = 12 : 2 = 6 (m), do đó điểm A có tọa độ (6; 0).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên OB = 3 m, do đó điểm B có tọa độ (0; 3).

Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có:

\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {3^2} = 9\)

\(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {6^2} = 36\)

Suy ra phương trình của (E) là

\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe khoảng 3 : 2 = 1,5 m, tương ứng với x = 1,5. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox.

\(\frac{{{x_M}^2}}{{36}} + \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1\)

Suy ra: \({y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{36}}} = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}} \approx 2,905 > 2,8\)

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1,\(a = \sqrt 2 ,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {2 - 1} = 1\).

(E) có hai tiêu điểm là F₁(–1; 0); F₂(1; 0).

Ta có:

MF₁² = (x₀ + 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ + 1)² + y₀²

MF₂² = (x₀ – 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ – 1)² + y₀²

MF₁² – MF₂²  

= (x₀ + 1)² + y₀² – [(x₀ – 1)² + y₀²]

= (x₀ + 1)² – (x₀ – 1)²

= x₀²  + 2x₀ + 1 – (x₀²  – 2x₀ + 1)

= 4x₀.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF₁ + MF₂ = 2a = \(2\sqrt 2 \) (1)  

Mà: (MF₁ – MF₂)(MF₁ + MF₂) = MF₁² – MF₂²  

\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_1^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{4{x_0}}}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x_0}\)       (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF₁ = \(2\sqrt 2 \) + \(\sqrt 2 {x_0}\)

⇔ MF₁ = \(\sqrt 2 \) + \(\frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\)

⇒ MF₂ = \(2\sqrt 2 - \sqrt 2  - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 - \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }}\).

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Xét đường elip như hình vẽ:

Theo đề bài: Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Nên ta có:

2a = 768 800 và 2b = 767 640

Do đó, a = 384 400 và b = 383 820.

Từ đó suy ra \[c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{{384400}^2} - {{383820}^2}} \approx 21108\].

Vì vậy,

Khoảng cách lớn nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là

a + c ≈ 384 400 + 21 108 = 405 508 (km)

Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là:

a – c ≈ 384 400 – 21 108 = 363 292 (km).