Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R²

Với (a; b) là tọa độ tâm I và R > 0 là bán kính của đường tròn

Xét (x – 2)² + (y – 8)² = 49 có:

a = 2, b = 8, R² = 49 ⇒ R = 7

Vậy đường tròn (C) có tâm I(2; 8) và bán kính R = 7.

Xét(x + 3)² + (y – 4)² = 23 có:

a = –3, b = 4, R² = 23 ⇒ R = \(\sqrt {23} \)

Vậy đường tròn (C) có tâm I(–3; 4) và bán kính R = \(\sqrt {23} \).

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn do hệ số của x² và y² không bằng nhau

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn có tâm I(3; 1) và có bán kính R = 2 là:

(x – 3)²  + (y – 1)² = 2²

⇔ (x – 3)²  + (y – 1)² = 4.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I(3; 1) và đi qua điểm M(–1; 7) có bán kính

R = IM = \(\sqrt {{{( - 1 - 3)}^2} + {{(7 - 1)}^2}} = 2\sqrt {13} \)

Phương trình đường tròn có tâm I(3; 1) và đi qua điểm M(–1; 7) là:

(x – 3)²  + (y – 1)² = (\(2\sqrt {13} \))²

⇔ (x – 3)²  + (y – 1)² = 52.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I(2; –4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 2y – 1 = 0 có bán kính R = d(I; Δ) = \(\frac{{\left| {3.2 - 2.\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \sqrt {13} \)

Phương trình đường tròn có tâm I(2; –4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 2y – 1 = 0 là:

(x – 2)²  + (y + 4)² = (\(\sqrt {13} \))²

⇔ (x – 2)²  + (y + 4)² = 13.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Dựa vào Δ: x + y – 1 = 0 ta có: y = 1 – x

Gọi I là tâm của đường tròn (C). Ta có I ∈ Δ ⇔ I(t; 1 – t)

Vì A, B thuộc (C) nên ta có

AI² = BI²

⇔ (t – 6)² + (1 – t – 2)² = (t + 1)² + (1 – t – 3)²

⇔ (t – 6)² + (–1 – t )² = (t + 1)² + (–2 – t )²

⇔ (t – 6)² + (t + 1)² = (t + 1)² + (t + 2)²

⇔ (t – 6)² = (t + 2)²

⇔ t² – 12t + 36 = t² + 4t + 4

⇔ 16t = 32

⇔ t = 2

Do đó, I(2; –1)

Bán kính của (C) là:

\(R = IA = \sqrt {{{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = 5\)

Phương trình của đường tròn (C) là:

(x – 2)² + (y + 1)² = 5²

⇔ (x – 2)² + (y + 1)² = 25.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (C) có phương trình: x² + y² + 6x – 4y – 12 = 0. Ta có:

Tâm I(a; b) với a = 6 : (–2) = –3, b = –4 : (–2) = 2, do đó, đường tròn (C) có tâm I(–3; 2).

Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; –2) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)\). Phương trình của Δ là

3(x – 0) – 4(y + 2) = 0

⇔ 3x – 4y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đề bài ta có do đường thẳng Δ vuông góc với d nên: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_d}} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)\).

Phương trình của Δ là:

4(x – 4) – 3(y – 2) = 0

⇔ 4x – 3y – 10 = 0.

Gọi I là tâm của đường tròn (C).

Vì d tiếp xúc với (C) tại điểm A nên ta có IA ⊥ d, do đó I thuộc Δ. Mặt khác, I thuộc đường thẳng d'. Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 3y - 10 = 0}\\{2x + y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 3y = 10}\\{2x + y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.\)

Do đó, I(1; –2)

Bán kính của (C) là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\).

Vậy phương trình của (C) là

(x – 1)² + (y + 2)² = 5²

⟺ (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 1)² = 2 có

tâm I(1; –1)

bán kính R² = 2 ⇒ \(R = \sqrt 2 \).

Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là

\(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \)

Ta có d(I, Δ) = R, do đó Δ là một tiếp tuyến của (C).

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên phương trình đường thẳng d có dạng x + y + m = 0, trong đó m ≠ 2.

Để d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi

\(d\left( {I,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 1 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \) ⇔ |m| = 2 ⇔ m = ± 2

Mà m ≠ 2 nên m = –2

Vậy phương trình của đường thẳng d là x + y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ O(0; 0) đến đường thẳng Δ là

\(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{0}}{\rm{.s}}in\alpha ^\circ + {\rm{ 0}}cos\alpha ^\circ --{\rm{ }}1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sin \alpha ^\circ } \right)}^2} + {{\left( {{\rm{cos}}\alpha ^\circ } \right)}^2}} }} = 1\)

Do (sinα^o)² + (cosα^o)² = 1 với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

Giả sử (C) là đường tròn có tâm O và bán kính R = 1.

Với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180) có thể thay đổi thì có:

d(O, Δ) = 1 = R không đổi

nên (C) luôn tiếp xúc với Δ.

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là x² + y² = 1.

Hướng dẫn giải

Từ cách xác định toạ độ của chất điểm M ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 3 + 5\sin t^\circ }\\{{y_M} = 4 + 5\cos t^\circ }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} - 3 = 5\sin t^\circ }\\{{y_M} - 4 = 5\cos t^\circ }\end{array}} \right.\)

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = (5sin t°)² + (5cos t°)²

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25(sin t°)² + 25(cos t°)²

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25[(sin t°)² + (cos t°)²]

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25.1

⇔ (x_M – 3)² + (y_M – 4)² = 25

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn (C) có tâm I(3; 4) và có bán kính R = \(\sqrt {25} \) = 5. Mặt khác gốc toạ độ O(0; 0) cũng thuộc đường tròn (C).

Do đó ta có: OM ≤ 2R = 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OM là đường kính của đường tròn (C), nghĩa là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 2{x_I} - {x_O} = 6}\\{{y_M} = 2{y_I} - {y_O} = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 5\sin t^\circ = 6}\\{4 + 5\cos t^\circ = 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin t^\circ = \frac{3}{5}}\\{\cos t^\circ = \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t \approx 37\) (có t ∈ (0; 180)).

Vậy M(6; 8) thỏa mãn yêu cầu đề bài.