Ta có hình vẽ:

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{MB}$ có cùng giá là đường thẳng AB và cùng chiều hướng xuống dưới nên hai vec tơ này cùng hướng. Do đó A đúng.

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{MN}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{CB}$ có giá là hai đường thẳng song song (theo tính chất đường trung bình) nhưng khác hướng. Do đó B sai.

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{MA}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{MB}$ là hai vectơ đối nhau nên không cùng hướng. Do đó C sai.

+) Hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{AN}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{CA}$ có cùng giá là đường thẳng AC nhưng ngược hướng. Do đó D sai.

Đáp án đúng là: B

Câu “n không chia hết cho 2” là mệnh đề chứa biến tính đúng sai phụ thuộc vào biến n.

Đáp án đúng là: B

+) Thay x = 0 và y = $-\frac{4}{9}$ vào bất phương trình ta được: $4.0-9.\left(\frac{4}{9}\right)-3\ge 0\iff -7\ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó A sai.

+) Thay x = – 1 và y = $-\frac{7}{9}$ vào bất phương trình ta được: $4.\left(-1\right)-9.\left(-\frac{7}{9}\right)-3\ge 0\iff 0\ge 0$ là mệnh đề đúng. Do đó B đúng.

+) Thay x = 4 và y = $\frac{16}{9}$ vào bất phương trình ta được: $4.4-9.\left(\frac{16}{9}\right)-3\ge 0\iff -3\ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Thay x = – 2 và y = $-\frac{5}{9}$ vào bất phương trình ta được: $4.\left(-2\right)-9.\left(-\frac{5}{9}\right)-3\ge 0\iff -6\ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó D sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có: (1; 2], {1; 2}, [1; 2] là các tập hợp nên ta có quan hệ tập con (1; 2] ⊂ ℝ, {1; 2} ⊂ ℝ, [1; 2] ⊂ ℝ. Do đó A, B, D sai.

Còn 1 là một số thực nên 1 là một phần tử của tập hợp ℝ, ta viết: 1 ∈ ℝ. Do đó C đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: AB ⊥ BD nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC, có: AB = AD = a nên tam giác ABC cân tại A mà $\widehat{ABD}=60°$ do đó ABC đều.

Vì vậy $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có α ∈ (120°; 270°) nên cosα < 0, còn sinα có thể âm hoặc dương. Do đó cotα, tanα có thể âm hoặc dương.

Vậy với α ∈ (120°; 270°) thì cosα nhận giá trị âm.

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by ≥ c (ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by < c ) với a, b, c là các số thực.

Do đó chỉ có bất phương trình $\frac{\sqrt{3}}{2}x-y>-12$ là thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

Gọi hàm số bậc hai cần tìm là y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Ta có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 2) suy ra c = 2.

Đồ thị hàm số có điểm điểm I(2; – 2) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_I=-\frac{b}{2a}=2\\ y_I=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ -\frac{{\left(-4a\right)}^2-4a.2}{4a}=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 16a^2-16a=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ \left[\begin{array}{l}a=0\\ a=1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}\right.$ (loại a = 0 vì không thỏa mãn điều kiện).

Vì vậy hàm số cần tìm là y = x² – 4x + 2.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: C

Hàm số đi lên (đồng biến) trên khoảng (– ∞; – 2) và (0; +∞).

Mà (– 4; – 2) ⊂ (– ∞; – 2) nên hàm số cũng đồng biến (– 4; – 2). Do đó C đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: x² – 2x + 1 = (x – 1)² ≥ 0 với mọi x nên để f(x) > 0 thì x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Đáp án đúng là: A

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 < 0

0 + 3.1 = 3 > – 2

Là những mệnh đề đúng nên (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\end{array}\right..$

Do đó A đúng.

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 > 0

0 + 3.1 = 3 < – 2

Là những mệnh đề sai nên (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y\ge 0\\ x-3y\le -2\end{array}\right..$ Do đó B sai.

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 ≥ 0 là mệnh đề sai

0 – 3.1 = – 3 ≤ – 2 là mệnh đề đúng

Suy ra (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y\ge 0\\ x-3y\le -2\end{array}\right..$ Do đó C sai.

+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:

0 – 2.1 = – 2 ≤ 0 là mệnh đề đúng

0 – 3.1 = – 3 ≥ – 2 là mệnh đề sai

Suy ra (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 0\\ x-3y\ge -2\end{array}\right..$ Do đó D sai.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số nhận giá trị trên tập (– ∞; +∞).

Đáp án đúng là: D

– 2x + 1 < 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì đây là bất phương trình bậc nhất.

$\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y-1\right)\le 0\iff \frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}y+\sqrt{2}\le 0$ có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$x^2-\sqrt{x}>0$ không có dạng của bất phương trình bậc hai một ẩn.

y² + x² – 2x < 0 là bất phương trình bậc hai nhưng có hai ẩn x và y.

Đáp án đúng là: B

Hàm số bậc hai y = 2x² – $\frac{1}{3}$x có a = 2, b = $\frac{1}{3}$

Khi đó trục đối xứng của hàm số đã cho là: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{1}{3}}{2.2}=\frac{1}{12}$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức f(x) = x² – 5x + 6, có a = 1 > 0, ∆ = (– 5)² – 4.1.6 = 1 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 3.

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta được:

f(x) < 0 khi x ∈ (2; 3).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (2; 3).

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình là: x² – 1 ≥ 0 ⇔ x² ≥ 1 ⇔ |x| ≥ 1

⇔ x ≥ 1 hoặc x ≤ – 1.

Đáp án đúng là: B

Gọi V là tập hợp số học sinh thích môn Văn;

T là tập hợp số học sinh thích môn Toán;

S là tập hợp số học sinh thích môn Sử;

V ∩ T là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Toán;

S ∩ T là tập hợp số học sinh vừa thích Sử vừa thích Toán;

V ∩ S là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Sử;

T ∩ V ∩ S là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Toán, vừa thích Sử;

T ∪ V ∪ S là tập hợp số học sinh thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử.

Khi đó: |T ∪ V ∪ S| = 45 – 6 = 39, |V| = 25, |T| = 20, |S| = 18, |V ∩ T| = 8, |S ∩ T| = 6, |T ∩ V ∩ S| = 5.

Ta có: |T ∪ V ∪ S| = |V| + |T| + |S| – |V ∩ T| – |S ∩ T| – |V ∩ S| + |T ∩ V ∩ S|

⇔ 39 = 25 + 20 + 18 – 8 – 6 – |V ∩ S| + 5

⇔ |V ∩ S| = 15

Vậy có 15 học sinh vừa thích Văn vừa thích Sử.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí cosin ta được:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 3² + 6² – 2.3.6.cos60°

= 27

⇔ BC = 3$\sqrt{3}$

Áp dụng định lí sin ta được:

Đáp án đúng là: B

Các công thức tính diện tích tam giác là:

S_ABC = $\frac{1}{2}b.c.\sin A=\frac{1}{2}a.b.\sin C=\frac{1}{2}a.c.\sin B$. Do đó A sai.

S_ABC = $\frac{abc}{4R}$. Do đó B đúng.

S_ABC = pr. Do đó C sai.

S_ABC = $\frac{1}{2}$a.h_a = $\frac{1}{2}$b.h_b = $\frac{1}{2}$c.h_c. Do đó D sai.

Đáp án đúng là: A

cos20° + cos40° + cos60° + ... + cos160° + cos180°

= (cos20° + cos160°) + (cos40° + cos140°) + ... + (cos80° + cos100°) + cos180°

= (cos20° – cos20°) + (cos40° – cos40°) + ... + (cos80° – cos80°) + cos180°

= 0 + 0 + ... + 0 + (– 1)

= – 1.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của hàm số: $\left\{\begin{array}{l}2x+4\ge 0\\ x\ge 0\\ x-\sqrt{x}-2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne 2\left(\sqrt{x}\ge 0\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x\ge 0\\ x\ne 4\end{array}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số là: D = [0; +∞) \ {4}.

Đáp án đúng là: A

Ta có AB < BC < AC nên $\widehat{C}<\widehat{A}<\widehat{B}$.

Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta được:

$\text{cosB=}\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}=\frac{5^2+7^2-8^2}{\mathrm{2.5.7}}=\frac{1}{7}$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 81°47\text{'}$ < 90°.

Suy ra góc lớn nhất của tam giác ABC là góc nhọn nên hai góc còn lại cũng nhọn. Vì vậy tam giác ABC nhọn.

Đáp án đúng là: C

Vì $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CN}$ (N là trung điểm của BC)

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{NM}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}\right|=\left|\overrightarrow{NM}\right|=MN$

Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm của AC

N là trung điểm của BC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$

Vì vậy $\left|\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}\right|=\frac{1}{2}a$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: M = sin(90° – α).cot(180° + α)

= cosα . (– cotα)

= cosα . $\left(-\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }\right)$

= $-\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }$

Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0

Mà cos²α ≥ 0 với mọi 90° < α < 180°

Do đó $-\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha }\le 0$ hay M ≤ 0.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác đều ABC, có: AB = a, AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta lại có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác của $\widehat{BAC}$$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=AB.AH.c\text{os}\widehat{BAH}=a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.cos30°=\frac{3}{4}{a}^2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow{\text{IJ}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}\right)$

⇒ a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{1}{2}$

⇒ a – b = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ = 0.

Đáp án đúng là: A

$\sqrt{x^2-5x+1}=\sqrt{x-7}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x² – 5x + 1 = x – 7

⇔ x² – 6x + 8 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=2\end{array}\right.$

Thay x = 4 và x = 2 vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm. 

Hướng dẫn giải

a) Ta có x là giá vé nên x > 0.

Số tiền giảm giá so với giá vé cũ là: 40 – x (nghìn đồng).

Số người đến rạp tăng lên: [(40 – x) : 10] . 100 = 400 – 10x (người).

Tổng số người đến rạp sau giảm giá là: 300 + 400 – 10x = 700 – 10x (người).

Doanh thu từ tiền bán vé sau giảm giá là: (700 – 10x).x = – 10x² + 700x (nghìn đồng).

Khi đó công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé là:

R(x) = – 10x² + 700x.

b) Xét hàm số bậc hai R(x) = – 10x² + 700x, có:

Tọa độ điểm đỉnh là: x_I = $-\frac{700}{2.\left(-10\right)}=35$, y_I = $-\frac{{700}^2-4.\left(-10\right).0}{4.\left(-10\right)}=12250$.

Ta có: a = – 10 < 0 nên ta có bảng biến thiên:

 

Suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất là 12 250 tại x = 35.

Vậy để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất thì rạp cần bán vé với giá 35 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

a) $3\sqrt{x^2-2x-3}=-x+9$(*)

Điều kiện – x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≤ 9

Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được:

9(x² – 2x – 3) = x² – 18x + 81

⇔ 9x² – 18x – 27 = x² – 18x + 81

⇔ 8x² = 108

⇔ x² = $\frac{27}{2}$

⇔ x = $\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

b) Xét hàm số f(x) = x² – 2(m + 3)x – 4m + 1 có a = 1 > 0, ∆’ = (m + 3)² – (– 4m + 1).1 = m² + 6m + 9 + 4m – 1 = m² + 10m + 8.

Để hàm số f(x) = x² – 2(m + 3)x – 4m + 1 > 0 với mọi số thực x thì

$\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta \text{'}=m^2+10m+8<0\end{array}\right.\iff -5-\sqrt{17}<m<-5+\sqrt{17}$.

Vậy $-5-\sqrt{17}<m<-5+\sqrt{17}$.

Ta có: $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BG}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=-\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$=-\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=-\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{5}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{IG}=\left(\frac{5}{3}:2\right)\overrightarrow{IJ}=\frac{5}{6}\overrightarrow{IJ}$.

Vậy I, J, G thẳng hàng hay IJ đi qua G.