Trong các số đã cho, ta có:

Các số là bội của 3 là: 75; 78; 90; 120; 231.

Các số là bội của 5 là: 65; 75; 90; 100; 120.

Các số không là bội của 3 cũng không là bội của 5 là: 82 và 94.

Khi đó ta điền được vào miền tương ứng như sau:

a) Các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn là: a₁, a₂, a₅, a₆, a₇, a₈, a₁₀.

Khi đó A = {a₁; a₂; a₅; a₆; a₇; a₈; a₁₀}.

Các ứng viên đạt yêu cầu về ngoại ngữ là: a₁, a₃, a₅, a₆, a₈, a₁₀.

Khi đó B = {a₁; a₃; a₅; a₆; a₈; a₁₀}.

b) Các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ là: a₁, a₅, a₆, a₈, a₁₀.

Vậy C = {a₁; a₅; a₆; a₈; a₁₀}.

c) Các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ.

{a₁; a₂; a₃; a₅; a₆; a₇; a₈; a₁₀}.

Vậy D = {a₁; a₂; a₃; a₅; a₆; a₇; a₈; a₁₀}.

a) Ta có A$\cup$B = {a; b; c; d; e; i; u}.

Ta lại có A$\cap$B = {a; e}.

Vậy A$\cup$B = {a; b; c; d; e; i; u} và A$\cap$B = {a; e}.

b) Xét phương trình x² + 2x – 3 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}\right.$

Suy ra A = {-3; 1}

Xét phương trình |x| = 1

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

Suy ra B = {-1; 1}.

Vậy A$\cup$B = {-3; -1; 1} và A$\cap$B = {1}.

Ta có: A$\cap$B = {(x; y)| x, y $\in ℝ$, x – y = 1 và 3x – y = 9}.

Nghĩa là tập hợp A$\cap$B gồm các cặp (x; y) với x, y $\in ℝ$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 3x-y=9\end{array}\right.$.

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ 3x-y=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}\right.$.

Do đó A$\cap$B = {(4; 3)}.

Vậy A$\cap$B = {(4; 3)}.

Gọi E, F lần lượt là tập hợp số người bình chọn cho thí sinh A và số người bình chọn cho thí sinh B.

Theo giả thiết, ta có: n(E) = 85, n(F) = 72, n(E$\cap$F) = 60.

Nhận thấy rằng, nếu tính tổng n(E) + n(F) thì ta được số người bình chọn cho A hoặc B, nhưng số người bình chọn cho cả A và B được tính hai lần. Do đó số người bình chọn cho ít nhất một trong hai thí sinh A và B.

n(E$\cup$F) = n(E) + n(F) - n(E$\cap$F) = 85 + 72 – 60 = 97.

Suy ra có 97 người tham gia bình chọn và có 100 – 97 = 3 người không tham gia bình chọn.

Vậy có 97 người tham gia bình chọn và 3 người không tham gia bình chọn.

a) Các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ là a₂ và a₇.

Vậy E = {a₂; a₇}.

b) Các ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn là: a₃; a₄; a₉.

Vậy F = {a₃; a₄; a₉}.

a) Ta có A\B = {0; 1; 2} và B\A = {5}.

Khi đó (A\B)$\cap$(B\A) = $\varnothing$.

b) Ta có: E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

Ta lại có: A$\cap$B = {3; 4}

⇒ C_E(A$\cap$B) = {0; 1; 2; 5; 6; 7}.

Ta có: C_EA = {5; 6; 7} và C_EB = {0; 1; 2; 6; 7}.

⇒ (C_EA) $\cup$(C_EB) = {0; 1; 2; 5; 6; 7}.

c) Ta lại có: A$\cup$B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

⇒ C_E(A$\cup$B) = {6; 7}.

Ta có: C_EA = {5; 6; 7} và C_EB = {0; 1; 2; 6; 7}.

⇒ (C_EA) $\cap$(C_EB) = {6; 7}.

a) Ta có trục số:

a) Tập A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}.

Các phần tử vừa thuộc tập hợp A và B là: lục; lam.

Do đó A ∩ B = {lục; lam}.

Vậy A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím} và A ∩ B = {lục; lam}.

b) Vì mọi tam giác đều là tam giác cân nên tập A là tập hợp con của B.

Khi đó A ∪ B = B và A ∩ B = A.

Vậy A ∪ B = B và A ∩ B = A.

Lời giải

a) Xét phương trình: x² – 2 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=-\sqrt{2}\\ x=\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow A=\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}$

Xét bất phương trình 2x – 1 < 0 ⇔ x < $\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow B=\left\{x\in ℝ|x<\frac{1}{2}\right\}$

Ta có $-\sqrt{2}<\frac{1}{2}$ và $\sqrt{2}>\frac{1}{2}$ nên $-\sqrt{2}\in B,\sqrt{2}\notin B$.

Do đó A ∩ B = $\left\{-\sqrt{2}\right\}$.

Vậy A ∩ B = $\left\{-\sqrt{2}\right\}$.

b) Ta có: A ∩ B = {(x; y)| x, y $\in ℝ$, y = 2x – 1, y = -x + 5}

Các cặp (x; y) thuộc tập hợp A ∩ B thỏa mãn y = 2x – 1, y = -x + 5 (x, y $\in ℝ$)

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x – 1 = -x + 5

⇔ 2x + x = 5 + 1

⇔ 3x = 6

⇔ x = 2

⇒ y = - 2 + 5 = 3

Do đó A ∩ B = {(2; 3)}.

Vậy A ∩ B = {(2; 3)}.

c) Hình thoi không là hình chữ nhật và hình chữ nhật cũng không là hình thoi. Nhưng hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

Do đó A ∩ B là tập hợp các hình vuông.

Vậy A ∩ B là tập các hình vuông.

*Phương pháp giải:

Giải phương trình tìm nghiệm và kết luận.

*Lý thuyết:

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

1.1. Tập hợp

• Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

• a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.
• a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S).

1.2. Tập hợp con

• Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con (tập con) của S và viết là T ⊂ S (đọc là T chứa trong S hoặc T là tập con của S).

- Thay cho T ⊂ S, ta còn viết S ⊃ T (đọc là S chứa T).

- Kí hiệu T ⊄ S để chỉ T không là tập con của S.

Nhận xét:

- Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S.

- Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

• Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

Minh họa T là một tập con của S như sau:

1.3. Hai tập hợp bằng nhau       

- Hai tập hợp S và T được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của tập hợp S và ngược lại. Kí hiệu là S = T.

- Nếu S ⊂ T và T ⊂ S thì S = T.

2.1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

- Tập hợp các số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ....}.

- Tập hợp các số nguyên ℤ gồm các số tự nhiên và số nguyên âm:

ℤ = {...; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}.

- Tập hợp các số hữu tỉ ℚ gồm các số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ , với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.

Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

- Tập hợp các số thực ℝ gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

- Mối quan hệ giữa các tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Xem thêm

Tập hợp E là tập các số tự nhiên nhỏ hơn 10 nên E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Trong tập hợp E, các số là bội của 3 là: 0; 3; 6; 9. Khi đó A = {0; 3; 6; 9}.

Trong tập hợp E, các số là ước của 6 là: 1; 2; 3; 6. Khi đó B = {1; 2; 3; 6}.

Các tập hợp đã cho được xác định như sau:

- Tập hợp A\B là tập các phần tử thuộc tập A không thuộc tập hợp B nên A\B = {0; 9}.

- Tập hợp B\A là tập các phần tử thuộc tập B không thuộc tập hợp A nên B\A = {1; 2}.

- Tập hợp C_EA là tập hợp phần bù của tập E và A nên C_EA = {1; 2; 4; 5; 7; 8}.

- Tập hợp C_EB là tập hợp phần bù của tập E và B nên C_EB = {0; 4; 5; 7; 8; 9}.

Ta có A∪B = {0; 1; 2; 3; 6; 9}, A∩B = {3; 6}

- Tập hợp C_E(A∪B) là tập hợp phần bù của tập A∪B trong E nên C_E(A∪B) = {4; 5; 7; 8}.

- Tập hợp C_E(A∩B) là tập hợp phần bù của tập A∩B trong E nên C_E(A∩B) = {0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}.

Ta có sơ đồ ven sau:

Ta có sơ đồ ven: