Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Với n = 4, ta có:

(a + b)⁴ = [(a + b)²]² = [a² + 2ab + b²]² = [(a² + b²) + 2ab]²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2(a² + b²).2ab + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2a³b + 2ab³ + 4a²b²

= a⁴ + 2a³b + 6a²b² + 2ab³ + b⁴.

(a + b)⁵ = (a + b)³(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Với n là một số tự nhiên ta có công thức tổng quát:

(a + b)ⁿ = \(C_n^0{a^n}.{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}.{b^1} + C_n^2{a^{n - 2}}.{b^2} + ... + C_n^n{a^0}.{b^n}\).

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy \(C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3\) lần lượt bằng hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có: \(C_3^0 = 1\), \(C_3^1 = 3\), \(C_3^2 = 3\), \(C_3^3 = 1\).

b) Ta có: (a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³

= (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Bằng cách sử dụng máy tính, giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) lần lượt là:

\(C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1\).

Khi đó ta thấy \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) lần lượt bằng hệ số của các số hạng a⁴; 4a³b; 6a²b²; 4ab³; b⁴ trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\), ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)⁴ = \(C_4^0\)a⁴ + \(C_4^1\)a³b + \(C_4^2\)a²b² + \(C_4^3\)ab³ + \(C_4^4\)b⁴.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)⁵ = \(C_5^0\)a⁵b⁰ + \(C_5^1\)a⁴b¹ + \(C_5^2\)a³b² + \(C_5^3\)a²b³ + \(C_5^4\)ab⁴ + \(C_5^5\)b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)⁵ = (a + b)³.(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = -2, ta có:

(x – 2)⁴ = \(C_4^0\)x⁴ + \(C_4^1\)x³(-2) + \(C_4^2\)x²(-2)² + \(C_4^3\)x(-2)³ + \(C_4^4\)(-2)⁴

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Vậy (x – 2)⁴ = x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2y, ta có:

(x + 2y)⁵ = \(C_5^0\)x⁵(2y)⁰ + \(C_5^1\)x⁴(2y)¹ + \(C_5^2\)x³(2y)² + \(C_5^3\)x²(2y)³ + \(C_5^4\)x(2y)⁴ + \(C_5^5\)(2y)⁵

= x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y.

a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\)

Ta có: \({\left( {1 + 2} \right)^4} = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1^2}{.2^2} + C_4^3{.1^3}{.2^3} + C_4^4{.1.2^4}\)

⇔ \({3^4} = C_4^0 + C_4^1.2 + C_4^2{.2^2} + C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}\)

⇔ \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\) (đpcm).

b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\)

Ta có: (1 – 2)⁴ = \(C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.( - 2) + C_4^2{.1^2}.{( - 2)^2} + C_4^3.1.{\left( { - 2} \right)^3} + C_4^4.{( - 2)^4}\)

⇔ (-1)⁴ = \(C_4^0 - C_4^1 + C_4^2{.2^2} - C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}\)

⇔ 1 = \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\) (đpcm).

Số lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó là:

\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4\) (lựa chọn).

Mà theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.1 + C_4^2{.1^2}{.1^2} + C_4^3{.1^3}.1 + C_4^4.1 = {\left( {1 + 1} \right)^4} = {2^4} = 16\).

Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)⁴ = \(C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.y + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{y^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{y^3} + C_4^4.{y^4}\)

\( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\).

Vậy (3x + y)⁴ \( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\).

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = $\sqrt{2}$, ta có:

\({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\) = \(C_5^0\)x⁵ + \(C_5^1\)x⁴.\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^1}\)+ \(C_5^2\)x³\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}\) + \(C_5^3\)x²\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^3}\) + \(C_5^4\)x\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}\) + \(C_5^5\)\({\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\)

= x⁵ – \(5\sqrt 2 \)x⁴ + 20x³ – \(20\sqrt 2 \)x² + 20x – \(4\sqrt 2 \).

Vậy \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\) = \(C_5^0\)x⁵ – \(5\sqrt 2 \)x⁴ + 20x³ – \(20\sqrt 2 \)x² + 20x – \(4\sqrt 2 \).

a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\)= \(C_4^0{2^4} + C_4^1{.2^3}\left( {\sqrt 2 } \right) + C_4^2{.2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + C_4^3.2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + C_4^4.{\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\)

= 16 + 32\(\sqrt 2 \) + 48 + 16\(\sqrt 2 \) + 4
\( = 68 + 48\sqrt 2 \).

Vậy \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} = 68 + 48\sqrt 2 \).

b) Ta có: \({\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\)= \(C_4^0{2^4} + C_4^1{.2^3}\left( { - \sqrt 2 } \right) + C_4^2{.2^2}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + C_4^3.2.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}\)

= 16 – 32\(\sqrt 2 \) + 48 – 16\(\sqrt 2 \) + 4.

\( = 68 - 48\sqrt 2 \).

Khi đó: \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4} = 68 + 48\sqrt 2 + 68 - 40\sqrt 2 = 136.\)

c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\).

\( = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}\left( { - \sqrt 3 } \right) + C_5^2{.1^3}{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} + C_5^4{.1^1}{\left( { - \sqrt 3 } \right)^4} + C_5^5.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^5}\)

\( = 1 - 5\sqrt 3 + 30 - 30\sqrt 3 + 45 - 9\sqrt 3 \)

\( = 76 - 44\sqrt 3 \).

Vậy \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5} = 76 - 44\sqrt 3 .\)

Ta có: (3x – 2)⁵ = \( = C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - 2} \right) + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{\left( {3x} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 2} \right)^5}\)

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)⁵ = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Ta có: \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\)

\( = C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( { - 1} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4{.1^1}.{\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 1} \right)^5}\)

= (1 – 1)⁵ = 0 (nhị thức Newton).

Tập con có 0 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập $\varnothing$.

Tập con có 1 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁}, {a₂}, {a₃}, {a₄}, {a₅}.

Tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂}, {a₁; a₃}, {a₁; a₄}, {a₁; a₅}, {a₂; a₃}, {a₂; a₄}, {a₂; a₅}, {a₃; a₄}, {a₃; a₅}, {a₄; a₅}.

Tập con có 3 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃}, {a₁; a₂; a₄}, {a₁; a₂; a₅}, {a₁; a₃; a₄}, {a₁; a₃; a₅}, {a₁; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄}, {a₂; a₃; a₅}, {a₂; a₄; a₅}, {a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 4 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃; a₄}, {a₁; a₂; a₄; a₅}, {a₁; a₂; a₃; a₅}, {a₁; a₃; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 5 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅}.

Suy ra số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A là 5 + 10 + 1 = 16 tập, số tập hợp con có số chẵn (0; 4; 6) phần tử của A là 1 + 10 + 5 = 16 tập.

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.