Chọn đáp án B.

Có $\mathrm{IA}=\mathrm{R}=\sqrt{1^2+2^2}=5$

Khi đó mặt cầu tâm I đi qua A có phương trình ${(\mathrm{x}-1)}^2+{(\mathrm{y}-1)}^2+{(\mathrm{z}-1)}^2=5$

Chọn đáp án A.

Có $l=2a, r=a$

$\Rightarrow h=\sqrt{l^2-r^2}=a\sqrt{3}$

Khi đó thể tích khối nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\sqrt{3}\pi {\alpha }^3}{3}$

Chọn đáp án C.

Thể tích khối trụ (H1) là:

$V_1=\pi {r_1}^2{h}_1$

Thể tích khối trụ (H2) là:

$V_2=\pi {r_2}^2{h}_2=\frac{1}{2}\pi {r_1}^2{h}_1$

Theo giả thiết ta có:

$$\begin{gathered} V_1+V_2=30c{m}^3 \\ \iff \frac{3}{2}{V}_1=30c{m}^3 \\ \iff V_1=20c{m}^3 \end{gathered}$$

Chọn đáp án C.

Có $\left\{\begin{array}{l}r=\sqrt{3}\\ l=2h\\ l^2=h^2+r^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}r=\sqrt{3}\\ h=1\\ l=2\end{array}\right.$

$S_{xq}=\pi rl=2\sqrt{3}\pi$

Chọn đáp án A.

Lượng nước trong nón 1 đã chảy xuống nón 2 bằng:

$\frac{\pi r^2.2}{3}-\frac{\pi .{\left({\displaystyle \frac{r}{2}}\right)}^2.1}{3}=\frac{7\pi r^2}{12}$

Chiều cao nước nón 2 là h thì bán kính đáy nước trong nón 2 bằng:

$$\begin{gathered} \frac{h}{2}=\frac{r^{\text{'}}}{r} \\ \Rightarrow r^{\text{'} }=\frac{rh}{2} \end{gathered}$$

Thể tích nước trong nón 2 bằng:

$$\begin{gathered} \frac{\pi {\left({\displaystyle \frac{rh}{2}}\right)}^2.h}{3}=\frac{7\pi r^2}{12} \\ \iff h=\sqrt[3]{7} \end{gathered}$$

Chọn đáp án D.

Quay quanh AD thu được trụ có r = AB, h = AD; quay quanh AB thu được trụ có r = AD, h = AB.

Vậy $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi .A{B}^2.AD}{\pi .A{D}^2.AB}=\frac{AB}{AD}=2$

Chọn đáp án B.

Hộp hình trụ có R = h = 10. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông (tấm bìa) đã cho. Gọi AB, CD lần lượt là cạnh hình vuông trên mặt đáy; cạnh trên mặt phía trên của hộp. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D xuống mặt đáy.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}EF=CD=AB\\ EF//CD//AB\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \\ AEFB \mathrm{là} \mathrm{hình} \mathrm{chữ} \mathrm{nhật} \mathrm{nội} \mathrm{tiếp} \mathrm{đường} \mathrm{tròn} \mathrm{có} \mathrm{bán} \mathrm{kính} \mathrm{R} = 10. \end{gathered}$$

Do đó $A{B}^2+B{F}^2=A{F}^2$

$$\begin{gathered} \iff A{B}^2+B{F}^2=4R^2 \\ \iff a^2+B{F}^2=4R^2 \left(1\right) \end{gathered}$$

Mặt khác theo pitago có:

$$\begin{gathered} B{D}^2=B{F}^2+F{D}^2 \\ \iff a^2=B{F}^2+h^2 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) có:

$$\begin{gathered} 4R^2-a^2=a^2-h^2 \\ \iff a^2=\frac{h^2+4R^2}{2}=\frac{{10}^2+4\times {10}^2}{2}=250 \end{gathered}$$

Chọn đáp án B.

Có $R=\frac{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

 Chọn đáp án B.

Nón có:

$$\begin{gathered} r=AB=3 \\ h=AC=4 \\ l=\sqrt{r^2+h^2}=5 \\ \Rightarrow S_{tp}=\pi r\left(r+l\right)=3\pi \left(3+5\right)=24\pi \end{gathered}$$

Chọn đáp án A.

Theo giả thiết thể tích khối cầu đá bằng $\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$thể tích khối trụ.

Do vậy:

$$\begin{gathered} \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{4}\pi .{\left(0,5\right)}^2.2 \\ \Rightarrow R=\sqrt[3]{\frac{3}{23}} \\ \Rightarrow S_C=4\pi R^2\approx 2,6m^2 \end{gathered}$$

Chọn đáp án C.

Ta có:

$\alpha =60°$

Chọn đáp án B.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp \left(SBC\right)$

Vì vậy áp dụng công thức cho trường hợp khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy có:

Chọn đáp án A.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông S.ABC đỉnh A là:

Chọn đáp án D.

Thể tích khối nước trong cốc là:

Thể tích của khối cầu là $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Sau khi thả viên bi, chiều cao của mực nước bằng đường kính khối cầu nên tổng thể tích của nước và khối cầu là:

Chọn đáp án A.

Thể tích kem đóng băng:

Thể tích kem sau khi tan chảy:

Theo giả thiết có:

Chọn đáp án A.

Có thể tích phần kem phía trên bằng thể tích nửa khối cầu và bằng:

Thể tích phần kem phía dưới bằng :

Thể tích của cả chiếc kem bằng 400cm³ 

Khi quay tam giác theo BC ta sẽ có được hai khối nón như hình vẽ.

Trong $△ABC$, gọi là H chân đường cao của A đến BC. Ta có:

Thể tích hình nón đỉnh C là:

Thể tích hình nón đỉnh B là:

Khối tròn xoay có thể tích:

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của AB, ta có $\angle O\text{'}IO=60°$ 

Đặt OI=x ta có:

Đáp án A

Ta có:

Vậy thể tích lớn nhất của hình trụ là:

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra:

Gọi l, R lần lượt là đường sinh và bán kính của hình nó ngoại tiếp hình chóp, khi đó:

Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp là:

Đáp án A.

Thiết diện là tam giác vuông cân tại đình B, cạnh huyền AC=2  .

Đặt BA=BC=x, ta có:

Diện tích toàn phần của hình nón là:

Đáp án A.

Theo bài ra ta có chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của hình trụ và bằng đường kính của mặt cầu.

Gọi bán kính của mặt cầu là R, ta có:

Vậy hình trụ có bán kính $R=\sqrt{2}$, chiều cao $2\sqrt{2}$.

Diện tích xung quanh của hình trụ:

Đáp án A.

Thể tích lượng bê tông cần dùng chính bằng thể tích của hình trụ bán kính OA (V₁) trừ thể tích hình trụ bán kính OB (V₂). Ta có:

Vậy lượng bê tông cần dùng là:

Đáp án D.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó:

Do đó cosin góc giữa 2 đường thẳng AC và  BD là  $\frac{1}{3}$.

Đáp án B.

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB, ta được khối nón có đỉnh A, đường sinh:

Diện tích xung quanh của hình nón là:

Đáp án D.

Gọi r là bán kính của một quả bóng.

Khi đó thể tích của một quả nóng là $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Suy ra:

Thể tích hình trụ:

Do đó $\frac{V_1}{V_2}$=

Chọn D.

Phương pháp:

Hình trụ có bán kính đáy r và có chiều cao h thì có diện tích xung quanh $S_{xq}=2\pi rh$ và có thể tích $V=\pi r^{2}h$.  (Với khối trụ thì đường sinh và chiều cao bằng nhau)

Cách giải:

Gọi r là bán kính đáy, theo đề bài ta có:

Diện tích xung quanh hình trụ là:

Chọn A.

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu.

Đường tròn đáy của hình nón có tâm H bán kính r.

Do H là hình chiếu của S và O trên mặt đáy của hình nón nên S, H, O thẳng hàng.

Hình nón có độ dài đường sinh l=2, đường cao h=1.

Suy ra: 

Góc ở đỉnh của hình nón là $\angle ASB=2\angle ASH=120°$ nên suy ra $H\in SO$ (như hình vẽ).

Trong tam giác OAH vuông tại H ta có:

Vậy đường kính mặt cầu chứa điểm S và đường tròn đáy hình nón bằng 4.

Cách 2:

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu.

Đường tròn đáy của hình nón có tâm H bán kính r.

Do H là hình chiếu của S và O trên mặt đáy của hình nón nên S, H, O thẳng hàng.

Hình nón có độ dài đường sinh l=2, đường cao h=1.

Trong tam giác SAH vuông tại H ta có:

Xét tam giác SOA có OS=OA=R và OSA=$\mathit{60}\mathit{°}$

Suy ra tam giác SOA đều.

Do đó R=OA=SA=2.

Vậy đường kính mặt cầu chứa điểm S và đường tròn đáy hình nón bằng 4.

Chọn A.

Ta có chu vi hình vuông bằng $8\pi$ cạnh hình vuông bằng $2\pi$ 

Do đó hình trụ có bán kính R=1, đường sinh l= $2\pi$(cũng chính là đường cao).

Vậy thể tích hình trụ:

Chọn A.

Phương pháp:

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực $\left(\alpha \right)$ của một cạnh bên nào đó

- Xác định $I=\left(\alpha \right)\cap d$. I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Cách giải:

ABCD là hình thang cân có AB=CD=BC= a, AD = 2a 

$\Rightarrow$ABCD là 1 nửa của hình lục giác đều, có tâm O là trung điểm của AD.

Gọi I là trung điểm của SD.

$\Rightarrow$OI// SA

Mà $SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow$$OI\perp \left(ABCD\right)$ 

$\Rightarrow$I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

$\Rightarrow$I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD là:

Thể tích khối cầu đó là: 

Chọn A.

Đáp án đúng: C.

*Phương pháp giải:

Hình cầu có bán kính R thì có diện tích là S = 4$\pi$R²  và thể tích là:

*Lời giải: 

Gọi bán kính hình cầu là R (R > 0)

Khi đó diện tích mặt cầu là:

S = 4$\pi$R²  = 36$\pi$a ²   

$\mathit{\Rightarrow }$R = 3a

Thể tích khối cầu là :

* Các lý thuyết thêm về mặt trụ, mặt cầu và mặt nón:

1. Diện tích và thể tích hình trụ

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: Stp = 2πRh + 2πR2.

- Thể tích: V = πR2h.

2. Diện tích và thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh.

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = πRl.

- Diện tích toàn phần: Stp = πRl + πR2.

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.

3. Diện tích và thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

- Diện tích xung quanh: S_xq = π (R + r) l.

- Thể tích: $V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$.

Chọn A.

Phương pháp:

+ Xác định chiều cao của hình chóp

+ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Bước 2: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Kẻ đường trung trực một cạnh bên giao với trục đường tròn ở đâu đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dựa vào định lý Pytago.

+ Mặt cầu có bán kính R thì có diện tích là $S=4\pi R^2$

Cách giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB; CD .

Kẻ SH$\perp$MN tại H .

Ta có SN$\perp$DC ; MN $\perp$DC   

$\Rightarrow$DC$\perp$( SMN )

$\Rightarrow$DC$\perp$SH

Mà SH $\perp$MN

$\Rightarrow$ SH $\perp$(ABCD).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên:

Vì tam giác SDC vuông cân tại S có cạnh huyền CD = a 

$\Rightarrow$SN=$\frac{a}{2}$

Vì tam giác ABS  đều cạnh a

$\Rightarrow$ SM =  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SNM có:

$\Rightarrow$$△SMN$ vuông tại S.

Suy ra:

Nhận thấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .

Kẻ tia Oy / /SH  , khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD nằm trên đường thẳng Oy.

Trên tia OM  ta lấy K sao cho OK = OA =$\frac{a\sqrt{2}}{2}$, khi đó K $\in$ (O; OA)

Trong mặt phẳng (SMN ), lấy E là trung điểm SK , kẻ EI  là đường trung trực của SK  (I $\in$ Oy).

Khi đó:

IK = IS = IA = IB = IC = ID nên I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD và bán kính là R = IK.

Kẻ SF $\perp$Oy

Gắn hệ trục Oxy với OM $\equiv$Ox; Oy / /SH

Đặt $I(0,y_o)$

Xét tam giác vuông ISF có:

Xét tam giác vuông OIK có:

Vì 

Suy ra bán kính mặt cầu:

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Chọn C.

Chọn A.

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l là:

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng:

Chọn A.

Phương pháp:

Chỉ ra ba đỉnh H, K, B cùng nhìn cạnh AC dưới một góc vuông. Từ đó suy ra bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm A, H, B, K.

Cách giải:

Ta có:

Mà:

Ta thấy:

Nên mặt cầu đi qua bốn đỉnh A; H; B; K nhận AC là đường kính nên bán kính:

Chọn C.

Đáp án đúng là A.

Lời giải

*Phương pháp giải:

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

- Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

2. Công thức tính thể tích khối nón

Cho khối nón tròn xoay có diện tích đáy là S; chiều cao là h.

Khi đó : $V=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}\pi .r^2.h$

Xem thêm

Công thức tính thể tích khối nón chi tiết nhất – Toán 12 

Chọn A.

Chọn C.