Cho a,b, là các số thực biết ${\log }_2\left(\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-1}\right)=a\left(a-2\right)+b\left(b-2\right)+c\left(c-2\right)$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{3a+2b+c}{a+b+c}$

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa đường thẳng AB, đi qua điểm C' của cạnh SC chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số $\frac{S{C}^{\text{'}}}{SC}$

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình $f\left(x\right)>2^{\cos x}+3m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt $g\left(x\right)=3f\left(f\left(x\right)\right)+4$. Số điểm cực trị của hàm số g(x) là

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/m² và 100 000 đồng/m². Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho tập hợp $A=\left\{1;2;3;\mathrm{...};10\right\}$. Chọn ngẫu nhiên ba số từ A. Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp

Cho hàm số $y=\left|x^3+x^2+\left(m^2+1\right)x+27\right|$. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-3; -1] có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của S là

Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhưng vì không đủ nộp tiền học phí Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm 3 000 000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) là

Bất phương trình ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^x+\left(1-2a\right){\left(\sqrt{2}-1\right)}^x-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1-x_2={\log }_{1+\sqrt{2}}3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giả sử hàm f có đạo hàm cấp hai trên R thỏa mãn $f^{\text{'}}\left(1\right)=1$  và $f\left(1-x\right)+x^2{f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=2x$  với mọi $x\in ℝ$ . Giá trị tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$  bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y={2021}^{f\left(f\left(x\right)-1\right)}$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x^2-2x\right)$  với $\forall x\in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số$f\left(x^2-8x+m\right)$ có 5 điểm cực trị?

Cho số phức $\text{w}={\left(1-i\right)}^2.z$ thỏa mãn $\left|z\right|=m$, biết . Tính $\left|\text{w}\right|$.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y=\frac{2x+1}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$?

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a. Bên trong hình nón người ta đặt một khối cầu và một hình trụ sao cho hình trụ có một đáy nằm trên đáy của hình nón và một đáy tiếp xúc với các đường sinh của hình nón; còn hình cầu tiếp xúc với một mặt của hình trụ và các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Bán kính của mặt đáy hình trụ thỏa mãn tổng thể tích của khối cầu và khối trụ đạt giá trị lớn nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{2},d_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Đường thẳng $∆$ cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB có phương trình

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=2a,BC=a$. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C. Tính khoảng cách d từ trung điểm M của SC đến mặt phẳng  (SBD).

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $z^3+2i{\left|z\right|}^2=0$ ?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $ℝ\backslash \left\{0\right\}$ thỏa mãn $f^{\text{'}}\left(x\right)+\frac{f\left(x\right)}{x}=x^2$ và $f\left(1\right)=-1$. Giá trị của $f\left(\frac{3}{2}\right)$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left(2;1;1\right)$ ; mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ : $x+y+z-4=0$  và mặt cầu $\left(S\right)$ : $x^2+y^2+z^2-6x-6y-8z+18=0$ . Phương trình đường thẳng $\Delta$  đi qua M và nằm trong $\left(\alpha \right)$  cắt mặt cầu (S) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là

Cho  đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD bằng:

Tính P tích tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x-{\log }_{x}64=1$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc $\widehat{BAD}=60°$, $SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$  thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=-\frac{7}{2}$ , $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-2$  và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{13}{2}$  (với a, b, ). Giá trị của biểu thức $P=a+b+c$  là

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:

Tìm m để phương trình $f\left(x\right)=m+1$ có 4 nghiệm phân biệt.

Tính đạo hàm của hàm số $y=2^{x^2}$

Hệ số lớn nhất của biểu thức $P\left(x\right)=\left(1+x\right){\left(1+2x\right)}^{17}$  sau khi khai triển và rút gọn là

Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có tất cả các cạnh đều bằng 2a, đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x^2-2x\right)$  là

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$ bằng

Cho hình nón có bán kính đáy $r=\sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $l=4$. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón đã cho.

Cho phần vật thể $\Phi$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại x = 0; x = 3. Cắt phần vật thể $\Phi$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng $x\left(0\le x\le 3\right)$ ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước lần lượt là x và $\sqrt{3-x}$. Thể tích phần vật thể $\Phi$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy ABCD trùng với trung điểm AB. Biết$AB=a$ , $BC=2a$ , $BD=a\sqrt{10}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và đáy là 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)   gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau đây?

Tập nghiệm S của bất phương trình ${\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x-6\le 0$ là

Cho hàm số $y=\left|x^2+2x+a-4\right|$ . Giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[-2;1\right]$  đạt giá trị nhỏ nhất là 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left(2;1;1\right),B\left(-1;-2;-3\right)$ và (P) vuông góc với mặt phẳng $\left(Q\right):x+y+z=0$. Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

Cho hình chóp S.ABC cỏ đáy là tam giác đều cạnh $a=4\sqrt{2}$  cm, cạnh bên SC vuông góc với đáy và $SC=2$cm. Gọi M, N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM bằng

Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $4^x-2^{x+1}+m=0$  có hai nghiệm thực phân biệt là

Kí hiệu $z_1,z_2,z_3,z_4$ là bốn nghiệm phức của phương trình $z^4+4z^2-5=0$. Giá trị của ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+{\left|z_3\right|}^2+{\left|z_4\right|}^2$ bằng

Một cơ sở sản xuất có 2 bồn chứa nước hình trụ có chiều cao bằng nhau và bằng h(m), bán kính đáy lần lượt là 2 (m) và 2,5 (m). Chủ cơ sở dự tính làm bồn chứa nước mới, hình trụ, có chiều cao $h_1=1,5h\left(m\right)$  và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bồn nước đã có sẵn. Bán kính đáy của bồn nước mà cơ sở dự tính làm gần nhất với giá trị nào dưới đây?