Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;3), B(5;2;-1) và hai điểm M, N thay đổi trên mặt phẳng (Oxy) sao cho điểm I(1;2;0) luôn là trung điểm của MN. Khi biểu thức $P=M{A}^2+2N{B}^2+\overline{MA}.\overline{NB}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=2x_M-4x_N+7y_M-y_N$.

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}{3}^{2x+\sqrt{x+1}}-3^{2+\sqrt{x+1}}+2017x\le 2017\left(1\right)\\ x^2-\left(m+2\right)x+2m+3\ge 0\left(2\right)\end{array}\right.$.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: $x^4-16x^2+8\left(1-m\right)x-m^2+2m-1=0$.

Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn $\frac{z}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{i-a}{1-a\left(a-2i\right)}$. Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Khoảng cách giữa hai điểm M và I(-3;4) (khi a thay đổi) là:

Trong không gian Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó $a,b,c\in ℝ\backslash \left\{0;1\right\}$. Tính bán kính của (S)?

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1], thỏa mãn $f\left(0\right)=1$ và $3\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\text{'}\left(x\right).f^2\left(x\right)+\frac{1}{9}\right]dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)dx$. Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^3\left(x\right)dx.$

Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $45°$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z - 4 = 0 và điểm A(2;-1;3). Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A và song song với (P), biết $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left(a;b;c\right)$ đồng thời $\Delta$ đồng phẳng và không song song với Oz. Tính $\frac{a}{c}$.

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm sáu chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4 trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z+5=0$ và $\left(Q\right):x-y+2=90$. Trên (P) có tam giác ABC, gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên (Q). Biết tam giác ABC có diện tích bằng 4, tính diện tích tam giác A’B’C’.

Cho hàm số $y=\left|x^4-2x^3+x^2+m\right|$. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }y+\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=20$ là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=m{x}^4-\left(m-5\right)x^2-3$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (so với mặt nước biển) (đo bằng mét) theo công thức $P=P_0.e^{xi}$ trong đó $P_0=760mmHg$ là áp suất ở mực nước biển ( x = 0), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3343 m là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $g\left(x\right)=f^2\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(f\left(x\right)+m\right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=\mathrm{0,}x=\pi$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ $x\left(0\le x\le \pi \right)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.

Cho số thực $a\in \left(0;1\right)$. Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ là hình vẽ nào dưới đây?

Tập nghiệm của phương trình $x^{\frac{2}{3}}=5$ là:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y=x^3+\left(3m-1\right)x^2+m^{2}x-3$ đạt giá trị cực tiểu tại $x=-1$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và điểm $A\left(-4;1;1\right)$. Gọi A’ là hình chiếu của A trên $\Delta$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với AA’?

Hàm số $y=x+\frac{{10}^8}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[{10}^3;{10}^9\right]$ tại điểm x bằng:

Số phức z thỏa mãn $3-2i+\frac{\overline{z}}{i}$ là số thực và $\left|z+i\right|=2$. Phần ảo của z là:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-3;2;1), B(1;4;-1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{4x^2+2x-1}+x}{x+1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ quay xung quanh trục Ox

Bất phương trình ${\left(\mathrm{0,2}\right)}^{x^2}{.2}^x\ge \frac{2}{5}$ tương đương với bất phương trình nào sau đây?

Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC đều $AB=a$; góc giữa SB và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng $60°$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC.

Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt là:

Cho hình chóp đều S.ABCD có $SA=a\sqrt{5},AB=a$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng $\left(MQP\right)$?

Cho $F\left(x\right)=x^4-2x^2+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\text{'}\left(x\right)-4x$. Hàm số $y=f\left(x\right)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích $S_1=\frac{8}{3}$ và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích $S_2=\frac{5}{12}$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính $I=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(3x+1\right)dx$.

Cho số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là -3. Môđun của số phức 3 + iz là:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a,b,c\in ℝ\right)$ có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^x+{\left(\sqrt{2}+1\right)}^x-6=0$ là:

Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $\mathrm{6,13}{m}^2$. Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón lá giống nhau có đường kính vành nón là 50 cm, chiều cao 30 cm thì cần khối lượng lá gần nhất với con số nào dưới đây? (Coi mỗi chiếc nón là có hình dạng là 1 hình nón).

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y=f\left(3-x\right)$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với mặt phẳng (Oxyz) và cắt Ox tại điểm (2;0;0). Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại

Cho khối đa diện (kích thước như hình vẽ bên) được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau. Tính thể tích khối đa diện đã cho là:

Số phức $z=i\left(3-i\right)$ biểu diễn trên mặt phẳng Oxy bởi điểm nào sau đây?