PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)

(0,5 điểm) Cho \(a + b + c = 0;\)  \(x + y + z = 0\) và \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0.\)

Chứng minh rằng: \(a{x^2} + b{y^2} + c{z^2} = 0.\)

(1,5 điểm) Quan sát biểu đồ sau:

(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC,\) \(AI\) là đường cao và 3 điểm \(D,\,\,\,E,\,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB,\,\,\,AC,\,\,\,BC.\) Lấy điểm \(J\) sao cho \(E\) là trung điểm \[IJ.\]

a) Tứ giác \[AICJ\] là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác \(DEFI\) là hình thang cân.

c) \(EB\) và \(FD\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh hai tứ giác \(ADKE\) và \(KECF\) có diện tích bằng nhau.

(1,0 điểm) Tìm \(x,\) biết:

a) \(7{x^2} + 14x = 0;\)                          b) \({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0.\)

(1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^3}y + 2{x^2}y + xy;\)                 b) \({x^2} - 9 - 4xy + 4{y^2}.\)

PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)

(1,0 điểm) Cho biểu thức:

\(A = 3y\left( {3y - x} \right) + \left( { - 2{x^2}{y^2} - 6x{y^3} + 4xy} \right):\frac{2}{3}xy.\)

a) Chứng minh rằng \(A\) luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên của biến \(x,y.\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{1}{2};\) \(y = 4.\)

Khẳng định nào sau đây đúng?

(0,5 điểm) Cho \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(a + b + c \ne 0.\) Tính giá trị của biểu thức:

\(N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}.\)

(1,5 điểm) Quan sát biểu đồ sau:

(3,0 điểm)

1) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(AH.\) Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB.\) Gọi \(E\) là điểm sao cho \(I\) là trung điểm của \(HE.\)

a) Giải thích tại sao tứ giác \(AKHI\) là hình thoi.

b) Chứng minh rằng \(AHCE\) là hình chữ nhật. Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(AHCE\) là hình vuông?

2) Vì kèo mái tôn là một trong những bộ phận không thể thiếu trong cấu tạo mái nhà lợp tôn. Nó giúp chống đỡ và giảm trọng lực của những ảnh hưởng từ các yếu tố bên ngoài tác động vào (Hình a).

(1,0 điểm) Tìm \(x,\) biết:

a) \({\left( {2x - 1} \right)^2} - 25 = 0.\) b) \({x^3} + 27 + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 9} \right) = 0.\)

(1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(4{x^2} - 6x.\)                                    b) \(25{\left( {x - y} \right)^2} - 16{\left( {x + y} \right)^2}.\)

PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)

(1,0 điểm) Cho biểu thức:

\(A = \left( {10{x^5}{y^3} - 25{x^3}{y^2} + 20{x^4}{y^3}} \right):\left( { - 5{x^2}{y^2}} \right) + 2{x^2}y\left( {x + 2} \right).\)

a) Chứng minh rằng \(A\) luôn chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của biến \(x.\)

b) Biết \(A = 20,\) tìm \(x.\)

Biểu thức nào dưới đây không phải là đơn thức?

Cho hai số x ,y  thỏa mãn điều kiện $x^2+5y^2-4x-4xy+6y+5=0.$  Tính giá trị của biểu thức $P={\left(x-3\right)}^{2023}+{\left(y-2\right)}^{2023}+{\left(x+y-5\right)}^{2023}$ .

b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông.

a) Chứng minh N là trung điểm của PQ.

Với số liệu được ghi trên hình vẽ bên dưới. Tính khoảng cách CD từ con tàu đến trạm quan trắc đặt tại điểm C.

Biểu đồ cột biểu diễn sản lượng khoai lang ở Phú Thọ qua các năm 2015; 2018; 2019; 2020 (đơn vị: nghìn tấn):

(Nguồn: Niên giám thống kê 2021)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

        a) $x^2-10x+25-y^2$ ; 

        b) $x^3+y^3-3x-3y$ ;

        c) $x^3+2x^{2}y+x{y}^2-4x$ .

Tính và thu gọn các biểu thức sau:

a) $5y-4x-8-\left(y+2x-3\right)$ .

b) $\left(2x-y\right)\left(4x-3y\right)-20x^3{y}^2:\left(-2x^{2}y\right)$ .

Thành phần của một loại thép được biểu diễn trong biểu đồ dưới đây:

Khối lượng sắt trong một thanh thép nặng 1 kg là

Các món ăn yêu thích của học sinh lớp 8A ghi lại trong bảng sau:

Dữ liệu định lượng trong bảng là

Cho hình vẽ. Giá trị của x là