Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng $\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{EA}.$

Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.

a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.

b) So sánh EF và$\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).$

Tìm độ dài x trong Hình 4.25.

Cho tam giác ABC, trung tuyến AI. Tia phân giác góc AIB cắt AB tại M và tia phân giác góc AIC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN // BC.

Nhà bạn Mai ở vị trí M, nhà bạn Dung ở vị trí D (H.4.23), biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của AB. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đến điểm I. Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm I?

Cho tam giác ABC. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài đoạn thẳng DC biết AB = 4,5 m; AC = 7,0 m và CB = 3,5 m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Tìm độ dài x trong Hình 4.21.

Quan sát Hình 4.20. Độ dài x, y lần lượt là:

A. x = 16 cm; y = 12 cm.

B. x = 14 cm; y = 14 cm.

C. x = 14,3 cm; y = 10,7 cm.

D. x = 12 cm; y = 16 cm.

Quan sát Hình 4.19. Tỉ số $\frac{x}{y}$ bằng

Quan sát Hình 4.18, biết BI là phân giác của góc B, AB = 12 cm, BC = 15 cm, AC = 9 cm. Độ dài đoạn IA là:

A. 5 cm.

B. 4 cm.

C. 6 cm.

D. 3 cm.

Quan sát Hình 4.17 và chọn khẳng định đúng.

A. $\frac{IA}{IC}=\frac{BA}{AC}.$

B. $\frac{IA}{IC}=\frac{BC}{BA}.$

C. $\frac{IA}{IC}=\frac{BA}{BC}.$

D. $\frac{IA}{IC}=\frac{AC}{AB}.$

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng EI = DK.

Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Lấy điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E.

a) Chứng minh: DC // EM.

b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM.

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.

b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?

Tính các độ dài x, y trong Hình 4.12

Cho ∆ABC đều, cạnh 3 cm; M, N là trung điểm của AB và AC. Chu vi của tứ giác MNCB bằng:

A. 8 cm.

B. 7,5 cm.

C. 6 cm.

D. 7 cm.

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 20 cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Chu vi tam giác MNP bằng:

A. 20 cm.

B. 10 cm².

C. 10 cm.

D. 40 cm.

Quan sát Hình 4.11 và chọn khảng định đúng.

A. DE = NP.

B. DF = 2MP.

C. EF = 2DM.

D. NP = 2DE.

Tìm độ dài x trong Hình 4.10.

A. 12 cm.

B. 24 cm.

C. 6 cm.

D. 10 cm.

Mỗi tam giác có bao nhiêu đường trung bình?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Cho hình thang ABCD (AB // DC), AC cắt BD tại I. Chứng minh rằng IA . ID = IB . IC.

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.8). Sau đó bác An đo được AF = 40 m, FC = 20 m, EC = 30 m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng $BM=\frac{1}{3}BC.$

Cho ∆ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh rằng: $\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=1.$

Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.5 và giải thích vì sao chúng song song với nhau.

Tìm độ dài x, y trong Hình 4.4 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với BC cắt 2 cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Biết rằng $\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}.$ Tính tỉ số chu vi tam giác AMN và ABC?

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{4}$

Quan sát Hình 4.3. Biết DE // BC, AD = 12, DB = 18, CE = 30. Độ dài AC bằng:

A. 20.

B. 56.

C. 45.

D. 50.

Cho AB = 10 cm; MN = 3 dm. Tỉ số nào đúng?

Quan sát Hình 4.2 và chọn khẳng định đúng.

A. $\frac{PI}{PM}=\frac{KN}{PN}.$

B. $\frac{IM}{IP}=\frac{KP}{PN}.$

C. $\frac{MI}{MP}=\frac{NK}{NP}.$

D. $\frac{PI}{PM}=\frac{PK}{KN}.$

Quan sát Hình 4.1 biết MN // BC. Tỉ số $\frac{AM}{MB}$ bằng

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là chân đường cao hạ từ A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Lấy M là điểm trên DH sao cho MD = DH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ADHE là hình thoi.

b) Tứ giác AHBM là hình chữ nhật.

c) Tứ giác ACHM là hình bình hành.

d) Ba đường thẳng MC, DE, AH đồng quy.

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M xuống AB (H.3.46).

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.

b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.45).

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật.

Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh tứ giác AMCQ là một hình thoi.

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2AB.

a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?

b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ giác BPCD.

Chứng minh rằng nếu nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân (H.3.43).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.

b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành.

b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.