a) ∆ABC có F là trung điểm BC, K là trung điểm AC nên FK là đường trung bình của ∆ABC, suy ra FK // AB.

∆ACD có E là trung điểm AD nên EK là đường trung bình của ∆ACD, suy ra EK // CD.

b) FK là đường trung bình của ∆ABC nên AB = 2FK.

Tương tự CD = 2EK.

Ta có FK + KE ≥ FE nên $\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)$ ≥ EF.

Do đó EF ≤ $\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).$

AD là đường phân giác của góc BAC.

Suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác). (1)

Ta có ED // AB suy ra $\frac{CD}{BD}=\frac{EC}{EA}.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{EA}.$

a) AD là phân giác của góc BAC, suy ra $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

$\frac{25-DC}{DC}=\frac{15}{20}$

20.(25 – DC) = 15DC

35DC = 500

$DC=\frac{100}{7}\approx 14,3\left(cm\right).$

Suy ra DB = BC – DC ≈ 10,7 (cm).

b) Ta có $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}.$

∆ABD và ∆ACD có cùng đường cao AH nên tỉ số diện tích của hai tam giác bằng tỉ số độ dài của hai cạnh đáy DB và DC.

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD là $\frac{3}{4}$

• AN // CD suy ra $\frac{MN}{MD}=\frac{MA}{MC}$ (định lí Thales trong tam giác).

• AD // CK suy ra $\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MK}$ (định lí Thales trong tam giác).

Suy ra $\frac{MN}{MD}=\frac{MD}{MK}.$

Do đó MD2 = MN . MK.