Hình 43 minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng H cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hướng đông (Ð), trục Oy là hướng bắc (B) và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Trực thăng cất cánh từ điểm G. Vectơ chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm t phút sau khi cất cánh (t ≥ 0) có toạ độ là: = (1 + t; 0,5 + 2t; 2t).

Tìm góc θ mà đường bay tạo với phương ngang.

Tính góc giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2), biết

(P1): 2x + 2y – z – 1 = 0 và (P2): x – 2y – 2z + 3 = 0.

Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết (t là tham số) và (P): x + y + z + 3 = 0.

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong mỗi trường hợp sau:

và .

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong mỗi trường hợp sau:

và ;

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong mỗi trường hợp sau:

và ;

Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(– 1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; – 2).

Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(– 1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; – 2).

Tìm toạ độ của hai vectơ và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.

Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng x – a – b – c = 0 là:

A. |a + b|.

B. |b + c|.

C. |c + a|.

D. .

Tọa độ tâm của mặt cầu (S): (x – 5)2 + (y + 6)2 + (z – 7)2 = 8 là:

A. (5; 6; 7).

B. (5; 6; – 7).

C. (5; – 6; 7).

D. (– 5; 6; 7).

Mặt cầu (S): (x – 11)2 + (y – 12)2 + (z – 13)2 = 100 có bán kính là:

A. 10.

B. 11.

C. 12.

D. 13.

 Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Mặt phẳng (P): 3x – 4y + 5z – 6 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.

Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 10z + 2 = 0.

Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100.

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

A. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 4.

B. (x – 5)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 16.

C. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 4.

D. (x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16.

Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 bằng:

A. 3.

B. 9.

C. 81.

D. .

Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2 = 16 có tọa độ là:

A. (– 2; – 3; 4).

B. (2; 3; – 4).

C. (2; – 3; – 4).

D. (2; – 3; 4).

Chứng minh rằng phương trình

x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0 là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

 Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ;