Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là:

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.

Những điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng R.

Mặt cầu tâm I đi qua điểm A nên bán kính của mặt cầu tâm I là:

R = IA = .

Đường kính của mặt cầu đó bằng 2R = 6.

Điểm M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R khi IM = R, tức là

= R.

Ta có x2 + (y + 5)2 + (z + 1)2 = 2 ⇔ (x – 0)2 + [y – (– 5)]2 + [z – (– 1)]2 = .

Vậy mặt cầu đã cho có tâm I(0; – 5; – 1) và bán kính R = .

Phương trình mặt cầu tâm O bán kính R là:

x2 + y2 + z2 = R2.

Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB.

Tọa độ điểm I là . Suy ra I(2; 3; 4).

Bán kính của mặt cầu là R = IA = .

Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 11.

Cách 1:

Ta có x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0

⇔ x2 – 2 ∙ 3 ∙ x + 9 + y2 – 2 ∙ 1 ∙ y + 1 + z2 – 2 ∙ 2 ∙ z + 4 = 9 + 1 + 4 + 11

⇔ (x – 3)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 25.

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm I(3; 1; 2) và bán kính R = = 5.

Cách 2:

Ta có x2 + y2 + z2 – 6x – 2y – 4z – 11 = 0

⇔ x2 + y2 + z2 – 2 ∙ 3 ∙ x – 2 ∙ 1 ∙ y – 2 ∙ 2 ∙ z – 11 = 0

Khi đó a2 + b2 + c2 – d = 32 + 12 + 22 – (– 11) = 25 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm I(3; 1; 2) và bán kính R = = 5.

Đường thẳng ID đi qua điểm I và nhận làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng ID là (t là tham số).

Giả sử H là vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó IH = R.

Ta có H ∈ ID nên gọi tọa độ điểm H(21 + 5 100t; 35 + 623t; 50 – 50t).

.

IH = R

⇔ t ≈ ± 0,78.

+ Với t ≈ 0,78, ta có H(3 999; 520,94; 11), = (3 978; 485,94; – 39).

Khi đó nên hai vectơ cùng hướng, vậy thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng ID.

+ Với t ≈ – 0,78, ta có H(– 3 957; – 450,94; 89), = (– 3 978; – 485,94; 39).

Khi đó nên hai vectơ ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm H(3 999; 520,94; 11).

Đáp án đúng là: B

Tâm của mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 4)2 = 16 có tọa độ là (2; 3; – 4).

Đáp án đúng là: A

Bán kính của mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9 bằng .

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

(x + 5)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16.

Ta có (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 7)2 = 100 ⇔ (x – 1)2 + [y – (– 2)]2 + (z – 7)2 = 102.

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; – 2; 7) và bán kính R = 10.

Do IA = < 10 nên điểm A(1; 1; 1) nằm trong mặt cầu đó.

Do IB =  = 10 nên điểm B(9; 4; 7) nằm trên mặt cầu đó.

Do IC =  > 10 nên điểm C(9; 9; 10) nằm ngoài mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2 là:

(x – 3)2 + (y + 7)2 + (z – 1)2 = 4.

Ta có R = IM = .

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2) là:

(x + 1)2 + (y – 4)2 + (z + 5)2 = 74.

Gọi tọa độ điểm M là M(x; y; z).

Ta có MA = ;

MB = ;

MC = = 12; 

MD = .

Từ đó ta có hệ phương trình .

Lấy (3) – (1) ta được: (7 – x)2 – (3 – x)2 + (9 – y)2 – (– 1 – y)2 = 144 – 36

⇔ – 8x – 20y = – 12 ⇔ 2x + 5y = 3 ⇔ x = (5).

Lấy (4) – (3) ta được: (– 15 – y)2 – (9 – y)2 + (18 – z)2 – (6 – z)2 = 576 – 144

⇔ 48y – 24z = 0 ⇔ 2y – z = 0 ⇔ z = 2y (6).

Thay (5) và (6) vào (2) ta được: + (4 – y)2 + (8 – 2y)2 = 49

⇔ 45y2 – 170y + 125 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y = .

+ Với y = 1 thì x = – 1, z = 2. Khi đó M(– 1; 1; 2).

Thử lại bằng cách thay x = – 1, y = 1, z = 2 vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với y = thì x = , z = . Khi đó M.

Thử lại bằng cách thay x = , y = , z = vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

Vậy M(– 1; 1; 2) là điểm cần tìm.