Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A;z_A\right),B\left(x_B;y_B;z_B\right)$. Từ biểu thức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ theo tọa độ hai điểm A, B.

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực $\overrightarrow{f}=\left(5;4;-2\right)$ (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời $\overrightarrow{a}=\left(70;20;-40\right)$ (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{f}$.

Cho ba vectơ $\overrightarrow{m}=\left(-5;4;9\right)$, $\overrightarrow{n}=\left(2;-7;0\right)$, $\overrightarrow{p}=\left(6;3;-4\right)$.

a) Tính $\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}.\overrightarrow{p}$.

b) Tính $\left|\overrightarrow{m}\right|,\left|\overrightarrow{n}\right|,\cos \left(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\right)$.

c) Cho $\overrightarrow{q}=\left(1;-2;0\right)$. Vectơ q có vuông góc với p không?

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$.

a) Biểu diễn từng vectơ a và b theo ba vectơ i,j,k.

b) Tính các tích vô hướng ${\overrightarrow{i}}^2,{\overrightarrow{j}}^2,{\overrightarrow{k}}^2,\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j},\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k},\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}$.

c) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ theo tọa độ của hai vectơ a và b.

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc $\overrightarrow{u}=\left(7;2;0\right)$, hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\overrightarrow{v}=\left(10;8;-3\right)$ (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là $\overrightarrow{w}=\left(\mathrm{3,5};1;0\right)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc u và v.

c) Chứng minh $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{m}=\left(-6;15;-9\right)$.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.

Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$.

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}$theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, từ đó suy ra tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$ với số thực m.

a) Biểu diễn từng vectơ a và b theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Trong không gian Oxyz, có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng Oxy không?$\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a^{\text{'}}}=?$

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình 17. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50, $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OH}\right)=64°$, $\left(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM}\right)=48°$. Tìm tọa độ của điểm M.

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như Hình 16 với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ và $OA=OS=4$ (Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và tìm tọa độ của các điểm A, B, C, S.

b) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, S.

Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2 (Hình 13).

a) Xác định một hệ tọa độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Trong không gian Oxyz, biết

a) $\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ các vectơ a,b.

b) $\overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k},\overrightarrow{ON}=8\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$. Tìm tọa độ điểm M, N.

Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như Hình 12, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, $\widehat{NOB}=32°,\widehat{MOC}=65°$. Tìm tọa độ điểm M.

b) Trong hệ tọa độ nói trên, tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình 11).

a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}$. Vẽ điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Gọi $\left(a_1;a_2;a_3\right)$ là tọa độ của điểm A. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{a}$ theo ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A; các điểm B, D, A' lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định tọa độ các điểm B, C, C'.

Cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C' có cạnh OA = 3, OC = 5, OO' = 2. Vẽ ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt trên các cạnh OA, OC, OO'. Biểu diễn $\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Một thiết kế cơ khí trong Hình 5a được biểu diễn trong không gian Oxyz như Hình 5b.

a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (mỗi vectơ đơn vị có độ dài bằng 1 m).

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 1 (Hình 4). Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Nêu nhận xét về ba trục tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i}\right),\left(O;\overrightarrow{j}\right),\left(O;\overrightarrow{k}\right)$.

Cho hình lập phương OABC.O'A'B'C' có cạnh bằng 1. Đặt $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$.

a) Nêu nhận xét về phương và độ dài của ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Trong kiểm soát không lưu, người ta dùng bộ ba số để xác định vị trí của máy bay. Người ta đã làm điều đó như thế nào?

Một lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$ tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MPN (Hình 30). Biết q = 2.10⁻¹² C, vectơ điện trường có độ lớn E = 1,8.10⁵ N/C và d = MH = 5 mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$.

Trong điện trường đều, lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$ (đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích q (đơn vị: C) được tính theo công thức $\overrightarrow{F}=q.\overrightarrow{E}$, trong đó $\overrightarrow{E}$ là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi q = 10⁻⁹C và độ lớn điện trường E = 10⁵ N/C (Hình 29).

Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P}$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$, trong đó $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s². Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình 28).

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\left(SI+\overrightarrow{SJ}\right)$.

Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với 3 cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30° (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là g = 9,8 m/s².

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$. Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$.

b) Tính góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)$ (kết quả làm tròn đến phút).