Cho hàm số f(x) xác định trên R\{1} thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x-1}, f\left(0\right) = 2017; f\left(2\right) = 2018$ . Tính S = f(3)-f(-1)

Biết luôn có hai số a, b để $F\left(x\right) = \frac{ax+b}{x+4}(4a-b\ne 0)$ là nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn $2f^2\left(x\right) = \left(F\right(x)-1)f\text{'}\left(x\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

Tìm giá trị dương của k để $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{(3k+1)x^2+1}}{x} = 9f\text{'}\left(2\right)$ với $f\left(x\right) = \ln (x^2+5)$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) $y = x^2 - 4x + 5$ và các tiếp tuyến với (P) tại A(1;2); B(4;5)

Cho tích phân ${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{3}}^0\cos 2x.\cos 4x dx = a+b\sqrt{3}$, trong đó a,b là các hằng số hữu tỷ. Tính $e^a + {\log }_2\left|b\right|$

Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu ${\int }_0^1{x}^2{(1-x^2)}^{n}dx$ . tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{I_{n+1}}{I_n}$

Biết ${\int }_1^2\frac{\ln x}{x}dx=\frac{b}{c}+a\ln 2$ (với a là số thực, b, c là các số nguyên dương và b/c  là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a+3b+c

Cho hàm số f(x) liên tục trên R  và thỏa mãn ${\int }_1^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}f\left(\tan x\right)dx = 4$ và ${\int }_0^1\frac{x^{2}f\left(x\right)}{x^2+1}dx = 2$ . Tính tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = x.e^{2x}$  là

Xét hàm số y = f(x) liên tục trên miền D = [a;b] có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a; x = b Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S bằng ${\int }_a^b\sqrt{1+(f\text{'}{\left(x\right))}^2}dx$ Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f(x) = ln x và bị giới hạn bởi các đường thẳng $x = 1; x = \sqrt{3}$ là $m-\sqrt{m}+\ln \frac{1+\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$ với $m,n\in R$ thì giá trị của $m^2-mn+n^2$ là bao nhiêu?

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y= e^{x-1}$ cắt trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2-x  với $x\ge 1$ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $f\left(\tan x\right) = {\cos }^{4}x$ Tính $I = {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) $y= x^2$ và đường thẳng y= 2x quay xung quanh trục Ox

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \sqrt{x}\ln x$

Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right).f(a-x) = 1\\ f\left(x\right)>0; \forall x\in [0;a]\end{array}\right.$ và ${\int }_0^a\frac{dx}{1+f\left(x\right)} = \frac{ba}{c}$, trong đó b, c là hai số nguyên dương và b/c là phân số tối giản. Khi đó b+c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có ${\int }_1^k(2x+1)dx =4 \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = -x^3+12x$ và $y = -x^2$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 2; {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx = 6$. Tính $I = {\int }_{-1}^{1}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$

Cho hai hàm số $F\left(x\right) = (x^2+ax+b)e^{-x}$ và $f\left(x\right) = (-x^2+3x+6)e^{-x}$. Tìm a và b để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $x = y^2$ quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

Parabol $y = \frac{x^2}{2}$ chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$ thành hai phần có diện tích $S_1$ và $S_2$, trong đó $S_1<S_2$. Tìm tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$

Biết  $I = {\int }_0^{4}x\ln (2x+1)dx = \frac{a}{b}\ln 3-c$, trong đó a, b, c là các số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Tính S = a+b+c

Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) = ${\cos }^{3}x$

Giới hạn $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x+1 - \sqrt{5x+1}}{x-\sqrt{4x-3}} = \frac{a}{b}$ (phân số tối giản). Giá trị của a-b là:

Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=0; ${\int }_0^1{[f\text{'}(x\left)\right]}^{2}dx=7$  và ${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x\right)dx = \frac{1}{3}$ .Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right) = \frac{2}{2x-1}; f\left(0\right) và f\left(1\right) = 2$ Giá trị của biểu thức $f(-1)+f\left(3\right)$bằng:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt{3}{x}^2$ cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4-x^2}$ (với $0\le x\le 2$) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Biết ${\int }_1^2\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c$ với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a+b+c

Tích phân ${\int }_0^2\frac{dx}{x+3}dx$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 3x^2+1$ là

Cho hàm số y =f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f)x), trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b (a<b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

Cho tích phân ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\mathrm{\pi }}\frac{\cos 2x}{1-\cos x}dx = a\mathrm{\pi }+\mathrm{b}$ với $a,b\in Q$ tính $P = 1-a^3-b^2$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và $f\left(x\right)\ne 0\forall x\in [4;8]$  Biết rằng 

${\int }_4^8\frac{{[f\text{'}(x\left)\right]}^2}{{\left[f\left(x\right)\right]}^4}dx = 1$ và f(4) = 1/4; f(8) = 1/2; tính f(6)

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường (P) $y = 2x^2$  parabol tiếp tuyến của (P) tại M (1;2) và trục Oy là

Cho ${\int }_{\ln 2}^{1+\ln 2}f\left(x\right)dx = 2018$ tính ${\int }_1^e\frac{1}{x}f\left(\ln 2x\right)dx$

Tích phân $I = {\int }_0^2{(x+3)}^{3}dx$  bằng.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = e^{2x} - \frac{1}{x^2}$ là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = 3e^{-x}+x$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = ln2  . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho (H) quay quanh trục hoành được tính bằng công thức nào sau đây?

Biết rằng ${\int }_4^{a+\sqrt{b}}\frac{1}{-x^2+6x-5}dx=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ , ở đó a,b là các số nguyên dương và $4<a+\sqrt{b}<5$ . Tổng a+b bằng