Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là 20%, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là 30%. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là 0,7. Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ? ở sở đồ hình cây sau:

Kết quả khảo sát những bệnh nhân bị tai nạn xe máy về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:

- Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là 80%;

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là 90%;

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là 18%.

Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu bao nhiêu lần?

Một nhóm 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ tham gia lao động trên sân trường. Cô giáo chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 bạn trong nhóm đi tưới cây. Tính xác suất để hai bạn được chọn có cùng giới tính, biết rằng có ít nhất 1 bạn nam được chọn.

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm”, B là biến cố “Tổng số chấm của hai mặt xuất hiện bằng 8” và C là biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt có 6 chấm”.

a) Tính \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) và P(A|B).

b) Tính \(\frac{{P\left( {C \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}}\) và P(C|A).

Tính xác suất có điều kiện ở hoạt động khởi động (trang 69).

Xét phép thử ở Ví dụ 2. Tính xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua.

Xét phép thử lấy thẻ ở Ví dụ 1. Gọi D là biến cố “Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lớn hơn 1”. Tính P(D|A) và P(D|B).

Hộp thứ nhất chứa 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Thanh lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.

Gọi A là biến cố “Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh”;

B là biến cố “Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi đỏ”.

a) Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B.

b) Biết rằng biến cố A không xảy ra, tính xác suất của biến cố B.

Bạn Thủy gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Nếu biết rằng xuất hiện mặt chẵn chấm thì xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là bao nhiêu?

Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong một chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại ví trí B là tập hợp những điểm A nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho $\widehat{BAO}=90°$, với O là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình x² + y² + z² = 1 và người quan sát ở vị trí B(1; 1; −1).

Gọi A là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí B. Tính khoảng cách AB.

Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm A(1; 2; −1) và B(5; 6; −2). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và mặt phẳng Oxy.

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}+\frac{z-3}{-2}$ và d': $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-2+t\\ z=2t\end{array}\right.$.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

b) Tính góc giữa d và d'.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0, (Q): 2x + y – z – 2 = 0 và điểm A(−1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ và d': $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d'.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 3 = 0 và đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\), \(d':\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 1; 0).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+t\\ z=4-2t\end{array}\right.$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(0; 1; 2), C(−1; −2; 3).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng AC.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A. I(1; −2; −1), R = 3.

B. I(1; 2; 1), R = 9.

C. I(1; 2; 1), R = 3.

D. I(1; −2; −1), R = 9.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là

A. I(1; 0; 3), R = 4.

B. I(1; 0; 3), R = 2.

C. I(−1; 0; 3), R = 2.

D. I(−1; 0; 3), R = 4.

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; 1; −3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + z – 3 = 0 là

A. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\).

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

D. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 0; −1), B(2; 1; 1). Phương trình đường thẳng AB là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua I(2; −1; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương là

A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\).

B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\).

D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-t\end{array}\right.$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. (1; −2; 3).

B. (2; 0; 0).

C. (2; 1; −1).

D. (2; 1; 1).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-2}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là

A. (1; −2; 3).

B. (2; 1; −2).

C. (2; 1; 2).

D. (1; 2; 3).

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; −1; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến là

A. x – y + 2z + 1 = 0.

B. x – y + 2z – 6 = 0.

C. 2x + y – z – 1 = 0.

D. 2x + y – z + 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 3z + 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A. (1; 2; 3).

B. (1; −2; 3).

C. (1; 2; −3).

D. (1; −2; −3).

Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(2; 0; 0). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1.Hỏi vị trí M(2; 1; 1) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x – 2y + 8z – 18 = 0. Xác định tâm, tính bán kính của (S).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(0; 3; −1) và có bán kính bằng khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): 3x + 2y – z = 0.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(−2; 0; 5) và bán kính R = 2.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2=9$. Xác định tâm và bán kính của (S).

Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí 0°N, 0°E đến vị trí 45°N, 30°E và so sánh với kết quả tính được ở luyện tập 5.

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: 45°N, 30°E.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2+4x-5y+6z+\frac{25}{4}=0$. Xác định tâm, tính bán kính của (S).

Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình (S): x² + y² + z² – 4x + 6y – 12 = 0. Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.