Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) có c₄ = 80 và c₆ = 40.

Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5;

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

Cho cấp số cộng (u_n). Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của (u_n) : u₂ – u₁; u₃ – u₁; u₄ – u₁; ...; u_n – u₁.

Mặt cắt của một tổ on có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quang vòng 2, cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.

Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.

Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số (u_n) với u_n = 9n – 9.

c) Dãy số (v_n) với v_n = an + b, trong đó a và b là các hằng số.

Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

a) 2; 5; 8; 11; 14 (xem Hình 1).

b) 2; 4; 6; 8.

c) 5; 10; 15; 20; 25.

d) – 5; – 2; 1; 4; 7; 10.

Một rạp hát có 20 hàng ghế. Tính từ sân khấu, số lượng ghế của các hàng tăng dần như trong hình minh họa dưới đây.

Bạn hãy đếm và nêu nhận xét về số ghế của năm hàng đầu tiên.

Làm thế nào để biết được số ghế của một hàng bất kì và tính được tổng số ghế trong rạp hát đó?

Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$. Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

b) (u_n) với  $u_n=\frac{6n-4}{n+2}$.

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với  $a_n={\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}$;

Tìm u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n dãy số:  $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}\left(n\ge 1\right)\end{array}\right.$.

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

b) (b_n) với  $b_n=\frac{n}{n+1}$.

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với  $a_n=\cos \frac{\pi }{n}$;

Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{1}{n}$. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

b) Gọi v_t = 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, v_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

c) (t_n) với t_n = (– 1)ⁿ . n².

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

b) (x_n) với  $x_n=\frac{n+2}{4^n}$; 

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với ;$u_n=\frac{2n-1}{n+1}$

b) So sánh b_n và b_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

Cho hai dãy số (a_n) và (b_n) được xác định như sau: a_n = 3n + 1, b_n = – 5n.

a) So sánh a_n và a_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ (Hình 1). Gọi u_n là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (u_n) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi:  $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=2u_n\left(n\ge 1\right)\end{array}\right.$.

a) Chứng minh u₂ = 2.3; u₃ = 2².3; u₄ = 2³.3.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Cho các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) được xác định như sau:

+) a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3; a₅ = 4.

+) b_n = 2n.

+) $\left\{\begin{array}{l}{c}_1=1\\ c_n=c_{n-1}+1\left(n\ge 2\right)\end{array}\right.$.

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n.

Tính bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.

Cho dãy số:

$u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ$

    $n\mapsto u_n=n^3$.

a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Cho hàm số:

$v:\left\{1;2;3;4;5\right\}\to ℝ$

                   $n\mapsto v\left(n\right)=2n$.

Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).

Cho hàm số:

$u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ$

    $n\mapsto u\left(n\right)=n^2$.

Tính u(1), u(2), u(50), u(100).

Gọi u₁; u₂; u₃; ...; u_n lần lượt là diện tích các tình huống có độ dài cạnh là 1; 2; 3; ...; n. Tính u₃ và u₄.

b) Dựa vào đồ thị của hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với tọa độ x_N = – 4 (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trong Hình 1, cây xanh AB nằm ở trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5m. Bóng của cây là BE. Vào nghày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh θ_s = (AB, AE) phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức θ_s(t) =  $\frac{\pi }{12}\left(t-12\right)$ rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18) .

b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s.

b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6m để có thể di chuyển vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thủy. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Độ sâu h(m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức h(t) = 0,8cos0,5t + 4.

Giải các phương trình sau:

c) sinx + sin2x = 0.