Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a)  $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+\mathrm{...}$;

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{-2n+1}{n}$;

d)  $\lim \frac{n^2-2n+3}{2n^2}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{-2n+1}{n}$;

b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì u_n vượt quá S?

Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

a) Với n như thế nào thì u_n vượt quá 10 000; 1 000 000?

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:  $1+\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\mathrm{...}$

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim \frac{\sqrt{4n^2+3}}{n}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{2n^2+3n}{n^2+1}$;

b) Từ đó, nêu nhận xét về  $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)$ và lim 3 +  $\lim \frac{1}{n^2}$.

Ở trên ta đã biết  $\lim \left(3+\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{3n^2+1}{n^2}=1$.

a) Tìm các giới hạn lim 3 và  $\lim \frac{1}{n^2}$.

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim \left(\frac{1-4n}{n}\right)$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \left(2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right)$;

b) Biểu diễn các điểm u₁, u₂, u₃, u₄ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm u_n khi n trở nên rất lớn?

Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{2n+1}{n}$.

a) Cho dãy số (v_n) với v_n = u_n – 2. Tìm giới hạn lim v_n.

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\lim {\left(-\frac{3}{4}\right)}^n$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \frac{1}{n^2}$;

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm u_n đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

b) Với n như thế nào thì |u_n| bé hơn 0,01; 0,001?

Cho dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giám thống kê năm 2020). Nếu trung bình mỗi năm tăng 1,14% thì ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm nghìn)?

Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110 000 cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là 12%/năm, xuất cư là 2%/năm, tử vong là 8%/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau 2 năm.

Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n), biết:

b)  $\left\{\begin{array}{l}{u}_7+u_{15}=60\\ u_4^2+u_{12}^2=1170\end{array}\right.$.

Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n), biết:

a)  $\left\{\begin{array}{l}5u_1+10u_5=0\\ S_4=14\end{array}\right.$;

Xét tính bị chặn của dãy số (u­_n) với  $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$.

Xét tính tăng, giảm của dãy số (u­_n) với  $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}$.

Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là

Có bao nhiêu số thực x để 2x – 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

Cho cấp số cộng (u­_n) có số hạng đầu u₁ = – 1 và công sai d = 3. Khi đó S₅ bằng

Cho cấp số cộng (u­_n) có u₁ = 3 và u₂ = – 1. Khi đó

Cho cấp số cộng (u­_n) có số hạng đầu u₁, công sai d. Khi đó, với n ≥ 2 ta có

Cho dãy số (u­_n) với  $u_n=\frac{n+1}{n+2}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho dãy số  $\frac{1}{3};\frac{1}{3^2};\frac{1}{3^3};\frac{1}{3^4};\frac{1}{3^5};\mathrm{...}$ . Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Cho dãy số (u­_n) với  $u_n=\frac{n}{3^n-1}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số (u_n) lần lượt là

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.

Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m.

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?