28 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 11 CTST Bài 1. Giới hạn của dãy số

Câu 1:

17/06/2026

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

n	10	20	50	100	1 000
\|u_n\|	0,1	0,05	0,02	?	?

Xem đáp án

a) Ta có:

Với n = 100 có $|u_{100}| = |\frac{{(- 1)}^{100}}{100}| = \frac{1}{100} = 0, 01$ .

Với n = 1 000 có $|u_{1000}| = |\frac{{(- 1)}^{1000}}{1000}| = \frac{1}{1000} = 0, 001$ .

Khi đó ta có bảng:

n	10	20	50	100	1 000
\|u_n\|	0,1	0,05	0,02	0,01	0,001

Câu 2:

17/06/2026

b) Với n như thế nào thì |u_n| bé hơn 0,01; 0,001?

Xem đáp án

b) Với n > 100 thì |u_n| < 0,01.

Với n > 1000 thì |u_n| < 0,001.

Câu 3:

17/06/2026

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm u_n đến điểm 0 khi n trở lên rất lớn?

Xem đáp án

c) Khi n trở nên rất lớn thì khoảng cách từ điểm u_n đến điểm 0 càng nhỏ.

Câu 4:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{1}{n^{2}}$ ;

Xem đáp án

a) Ta có: k = 2 là số nguyên dương nên $\lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ .

Câu 5:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

b) $\lim {(- \frac{3}{4})}^{n}$ .

Xem đáp án

b) Ta có:

q = - \frac{3}{4}

thỏa mãn

|q| = |- \frac{3}{4}| = \frac{3}{4} < 1

nên

\lim {(- \frac{3}{4})}^{n} = 0

Câu 6:

17/06/2026

Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$ .

a) Cho dãy số (v_n) với v_n = u_n – 2. Tìm giới hạn lim v_n.

Xem đáp án

a) Ta có: $v_{n} = \frac{2 n + 1}{n} - 2 = \frac{1}{n}$

Khi đó $\lim \frac{1}{n} = 0$ .

Vậy $\lim v_{n} = 0$ .

Câu 7:

17/06/2026

b) Biểu diễn các điểm u₁, u₂, u₃, u₄ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm u_n khi n trở nên rất lớn?

Xem đáp án

b) Ta có: $u_{1} = \frac{2.1 + 1}{1} = 3; u_{2} = \frac{2.2 + 1}{2} = \frac{5}{2}; u_{3} = \frac{2.3 + 1}{3} = \frac{7}{3}; u_{4} = \frac{2.4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$ ;

Biểu diễn trên trục số, ta được:

b) Biểu diễn các điểm u1, u2, u3, u4 trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm un khi n trở nên rất lớn? (ảnh 1)

Có nhận xét gì về vị trí của các điểm u_n Nhận xét: Khi n trở nên rất lớn lớn thì các giá trị u_n càng gần 2.

Câu 8:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim (2 + {(\frac{2}{3})}^{n})$ ;

Xem đáp án

a) Đặt $u_{n} = 2 + {(\frac{2}{3})}^{n} \Leftrightarrow u_{n} - 2 = {(\frac{2}{3})}^{n}$

Suy ra $\lim (u_{n} - 2) = \lim {(\frac{2}{3})}^{n}$

Vì $|\frac{2}{3}| < 1$ nên $\lim (u_{n} - 2) = \lim {(\frac{2}{3})}^{n} = 0$ .

Vậy $\lim (2 + {(\frac{2}{3})}^{n}) = 2$ .

Câu 9:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

b) $\lim (\frac{1 - 4 n}{n})$ .

Xem đáp án

b) Đặt $u_{n} = \frac{1 - 4 n}{n} = \frac{1}{n} - 4 \Leftrightarrow u_{n} + 4 = \frac{1}{n}$

Suy ra $\lim (u_{n} + 4) = \lim (\frac{1}{n}) = 0$ .

Vậy

\lim (\frac{1 - 4 n}{n}) = - 4

.

Câu 10:

17/06/2026

Ở trên ta đã biết $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}}) = \lim \frac{3 n^{2} + 1}{n^{2}} = 1$ .

a) Tìm các giới hạn lim 3 và $\lim \frac{1}{n^{2}}$ .

Xem đáp án

a) Ta có: lim 3 = 3, $\lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ .

Câu 11:

17/06/2026

b) Từ đó, nêu nhận xét về $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}})$ và lim 3 + $\lim \frac{1}{n^{2}}$ .

Xem đáp án

b) Đặt $u_{n} = 3 + \frac{1}{n^{2}} \Leftrightarrow u_{n} - 3 = \frac{1}{n^{2}}$

Suy ra $\lim (u_{n} - 3) = \lim \frac{1}{n^{2}} = 0$

$\Rightarrow \lim u_{n} = 3$

Ta có: lim 3 + $\lim \frac{1}{n^{2}}$ = 3 + 0 = 3.

Vậy $\lim (3 + \frac{1}{n^{2}})$ = lim 3 + $\lim \frac{1}{n^{2}}$

Câu 12:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2 n^{2} + 3 n}{n^{2} + 1}$ ;

Xem đáp án

a) $\lim \frac{2 n^{2} + 3 n}{n^{2} + 1} = \lim \frac{2 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = 2$ .

Câu 13:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

b) $\lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 3}}{n}$ .

Xem đáp án

b) Ta có: $\frac{\sqrt{4 n^{2} + 3}}{n} = \sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}}$

$\lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 3}}{n} = \lim \sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} = \sqrt{\lim (4 + \frac{3}{n^{2}})} = \sqrt{\lim 4 + \lim \frac{3}{n^{2}}} = 2$ .

Câu 14:

17/06/2026

Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Xem đáp án

a) Xác định diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3, ...).

Ta có: u₁ = 1. $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ; u₂ = $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$ ; u₃ = $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{3}$ ; u₄ = $\frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{4}$ ; ...

Diện tích u_k của phần hình được tô màu lần thứ k là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Khi đó công thức số hạng tổng quát là: $u_{k} = {(\frac{1}{2})}^{k}, (k = 1, 2, 3, ...)$

Câu 15:

17/06/2026

b) Tính tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...).

Xem đáp án

b) Tổng diện tích S_n của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3, ...) là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta được:

S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2} . (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})

.

Câu 16:

17/06/2026

c) Tìm giới hạn limS_n và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Xem đáp án

c) Ta có: limS_n = $\lim (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) = \lim 1 - \lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 1$ .

Khi đó limS_n = 2u₁.

Câu 17:

17/06/2026

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} + ... + {(\frac{1}{3})}^{n} + ...$

Xem đáp án

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội là $q = \frac{1}{3} < 1$ là:

$S_{n} = 1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} + ... + {(\frac{1}{3})}^{n} + ... = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ .

Câu 18:

17/06/2026

Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu u_n (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

a) Với n như thế nào thì u_n vượt quá 10 000; 1 000 000?

Xem đáp án

a) Diện tích của hình vuông u_n dựng ở bước thứ n là: u_n = n² (đơn vị diện tích).

Để u_n vượt quá 10 000 thì n² > 10 000 ⇔ n > 100.

Để u_n vượt quá 1 000 000 thì n² > 1 000 000 ⇔ n > 1000.

Câu 19:

17/06/2026

b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì u_n vượt quá S?

Xem đáp án

b) Để u_n vượt quá S thì u_n > S ⇔ n² > S ⇔ n > $\sqrt{S}$ .

Câu 20:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{- 2 n + 1}{n}$ ;

b) $\lim \frac{\sqrt{16 n^{2} - 2}}{n}$ ;

Xem đáp án

a) $\lim \frac{- 2 n + 1}{n} = \lim (- 2 + \frac{1}{n}) = \lim (- 2) + \lim \frac{1}{n} = - 2$

b) $\lim \frac{\sqrt{16 n^{2} - 2}}{n} = \lim \sqrt{\frac{16 n^{2} - 2}{n^{2}}} = \sqrt{\lim (16 - \frac{2}{n^{2}})} = \sqrt{16} = 4$ ;

Câu 21:

17/06/2026

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{- 2 n + 1}{n}$ ;

d) $\lim \frac{n^{2} - 2 n + 3}{2 n^{2}}$ .

Xem đáp án

c) $\lim \frac{4}{2 n + 1} = \lim \frac{\frac{4}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{0}{2 + 0} = 0$ ;

d) $\lim \frac{n^{2} - 2 n + 3}{2 n^{2}} = \lim \frac{1 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$ .

Câu 22:

17/06/2026

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {(- \frac{1}{2})}^{n} + ...$ ;

Xem đáp án

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_{1} = - \frac{1}{2}$ và công bội $q = - \frac{1}{2}$ bằng: $S = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {(- \frac{1}{2})}^{n} + ... = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{- \frac{1}{2}}{1 - (- \frac{1}{2})} = - \frac{1}{3}$ .

Câu 23:

17/06/2026

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

b) $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... + {(\frac{1}{4})}^{n} + ...$ .

Xem đáp án

b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_{1} = \frac{1}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{4}$ bằng: $S = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... + {(\frac{1}{4})}^{n} + ... = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$ .

Câu 24:

17/06/2026

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.

Xem đáp án

Ta có: 0,444... = 0,(4) = $\frac{4}{9}$ .

Câu 25:

17/06/2026

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu a_n là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

Xem đáp án

a) Diện tích của các hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn (a_n) với số hạng đầu là u₁ = 1 và công bội $\frac{1}{2}$ nên công thức tổng quát của a_n = ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Ta có: $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n}} + ...$

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:

S = \lim S_{n} = \lim (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n}} + ...) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

.

Câu 26:

17/06/2026

b) Kí hiệu p_n là chu vi của hình vuông thứ n và Q_n là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_n và Q_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQ_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Xem đáp án

b) Chu vi p_n của hình vuông lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 4 và công bội q = $\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là: $p_{n} = 4 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Ta có: $Q_{n} = 4 + 4. \frac{1}{2} + 4. \frac{1}{4} + ... + 4. \frac{1}{2^{n}} + ...$

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: $Q = \lim Q_{n} = \lim (4 + 4. \frac{1}{2} + 4. \frac{1}{4} + ... + 4. \frac{1}{2^{n}} + ...) = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = 8$ .

Câu 27:

17/06/2026

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H₀ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H₀ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H_n(n = 1, 2, 3, ...).

Ta có: H₁ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$ ;

H₂ có 5.5 = 5² hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{3^{2}}; ...$

Từ đó, nhận được H_n có 5ⁿ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3^{n}}$ .

a) Tính diện tích S_n của H_n và tính lim S_n.

Xem đáp án

a) Diện tích S_n của H_n là $S_{n} = 5^{n} . {(\frac{1}{3})}^{n} . {(\frac{1}{3})}^{n} = 5^{n} . {(\frac{1}{3})}^{2 n} = {(\frac{5}{9})}^{n}$

Khi đó ${limS}_{n} = \lim {(\frac{5}{9})}^{n} = 0$ .

Câu 28:

17/06/2026

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S_n và chu vi limp_n).

Xem đáp án

b) Chu vi p_n của H_n là: $p_{n} = 5^{n} . (4. \frac{1}{3^{n}}) = 4. {(\frac{5}{3})}^{n}$ .

Khi đó $\lim p_{n} = \lim [4. {(\frac{5}{3})}^{n}] = 0$ .

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3