c) Với giá trị nào của k thì  $\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\text{f}\left(x\right)=k$?

b) Tìm  $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và so sánh giá trị này với f(2).

Cho hàm số  $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+1khi1<x\le 2\\ kkhix=1\end{array}\right.$.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm x₀ ∈ (1; 2).

Xét tính liên tục của hàm số:

b)  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1khix>1\\ -xkhix\le 1\end{array}\right.$ tại điểm x₀ = 1.

Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = 1 – x² tại điểm x₀ = 3;

Cho hàm số  $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1khi0\le x\le 1\\ 1+xkhi1<x\le 2\\ 5-xkhi2<x\le 3\end{array}\right.$ có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x₀ = 1 và x₀ = 2, có tồn tại giới hạn  $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x₀) không?

Hai đồ thị ở hai hình dưới đây cho biết phí gửi xe y của ô tô con (tính theo 10 nghìn đồng) theo thời gian gửi x (tính theo giờ) của hai bãi xe. Có nhận xét gì về sự thay đổi của số tiền phí phải trả theo thời gian gửi ở mỗi bãi đỗ xe?

Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

b)  $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)$.

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f  > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức  $\frac{1}{d}+\frac{1}{d\text{'}}=\frac{1}{f}$ hay  $d\text{'}=\frac{df}{d-f}$.

Xét hàm số  $g\left(d\right)=\frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a)  $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)$;

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞.

Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muốn là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là  $C\left(t\right)=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

Tìm các giới hạn sau:

c)  $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}$;

b)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)$;

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}$;

b)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}$;

c)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$.

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}khix<1\\ xkhix\ge 1\end{array}\right.$.

Tìm các giới hạn sau:  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Tìm các giới hạn sau:

c)  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)$;

b)  $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}$;

Xét tình huống ở hoạt động khởi động đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật OHMK theo x. Diện tích này thay đổi như thế nào khi x → 0⁺ và khi x → +∞.

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x-1\right)$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-3}$;

b) Tìm giới hạn  $\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)$ và giải thích ý nghĩa.

Một cái hồ đang chứa 200m³ nước mặn với nồng độ muối 10kg/m³. Người ta ngọt hóa nước hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m³/phút.

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-3x^2}{x^2+2x}$;

b)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}$.

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới – ∞)?

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?

Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1-2xkhix\le -1\\ x^2+2khix>-1\end{array}\right.$.

Tìm các giới hạn  $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và  $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}6khix\in \left(0;1\right]\\ 7khix\in \left(1;2,5\right]\\ 10khix\in \left(2,5;5\right]\end{array}\right.$.

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì sao cho x_n ∈ (1; 2,5) và lim x_n = 1. Tìm lim f(x_n).

b) Giả sử  $\left(x_n^{\text{'}}\right)$ là dãy số bất kì sao cho  $\left(x_n^{\text{'}}\right)\in \left(0;1\right)$và  $\lim f\left(x_n^{\text{'}}\right)$. Tìm  $\lim f\left(x_n^{\text{'}}\right)$.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+5x-2\right)$;

b)  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$.

b) Từ đó, tìm giới hạn  $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]}$, và so sánh với  $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Cho hai hàm số y = f(x) = 2x và y = g(x) =  $\frac{x}{x+1}$.

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(x_n) + g(x_n)].

Tìm các giới hạn sau:

b)  $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+1}$.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x^2-x\right)$;

Xét hàm số  $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2-2}{x-1}$.

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

 Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng gần đến 1?

Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số  $y=\frac{1}{x^2}$ (x > 0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

b) Tính chu vi p_n của H_n và tính limp_n.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S_n và chu vi limp_n).

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

a) Bắt đầu một hình vuông H­₀ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H₀ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₁ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H₁ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H₂ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này ta nhận được một dãy hình H_n(n = 1, 2, 3, ...).

b) Kí hiệu p_n là chu vi của hình vuông thứ n và Q_n là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính p_n và Q_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limQ_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu a_n là diện tích của hình vuông thứ n và S_n là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính a_n, S_n (n = 1, 2, 3, ...) và tìm limS_n (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 ... dưới dạng phân số.

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

b)  $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n+\mathrm{...}$ .