Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

b)  ${\log }_2\left(\frac{M}{N}\right)$ và log₂M – log₂N.

Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

a) log₂(MN) và log₂M + log₂N;

Tính:

b)  ${\log }_{\frac{1}{2}}32$.

Tính:

a)  ${\log }_{3}3\sqrt{3}$;

Tìm x, biết:

c)  $2^x=\sqrt{2}$.

Tìm x, biết:

a) 2^x = 8;

b)  $2^x=\frac{1}{4}$;

Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Khi đó sau n năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau:

A = 100 ∙ (1 + 0,06)ⁿ (triệu đồng).

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được không dưới 150 triệu đồng?

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức  $A=19\cdot 2^{\frac{t}{30}}$. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

 $A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^N$.

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{4}{3}}$ và  $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a)  $5^{6\sqrt{3}}$ và  $5^{3\sqrt{6}}$;

Chứng minh rằng:

 $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$.

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

b)  $B={\left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$.

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a)  $A=\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$;

Rút gọn các biểu thức sau:

b)  $B=\frac{x^2{y}^{-3}}{{\left(x^{-1}{y}^4\right)}^{-3}}\left(x,y\ne 0\right)$.

Rút gọn các biểu thức sau:

a)  $A=\frac{x^5{y}^{-2}}{x^{3}y}\left(x,y\ne 0\right)$;

Thực hiện phép tính:

b)  $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot 8^{2\sqrt{7}}$.

Thực hiện phép tính:

a)  ${27}^{\frac{2}{3}}+{81}^{-0,75}-{25}^{0,5}$; 

Tính:

c)  ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}$;               d)  ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-0,75}$.

Tính:

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Rút gọn biểu thức:

 $A=\frac{{\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)}^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}\cdot a^{3-\sqrt{5}}}\left(a>0\right)$.

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa  $3^{\sqrt{2}}$ và  $3^{r_n}$, tức là  $\left|3^{\sqrt{2}}-3^{r_n}\right|$, khi n càng lớn?

Ta biết rằng  $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và  $\sqrt{2}$ = 1,4142135624...

Gọi (r_n) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số  $\sqrt{2}$, với r₁ = 1; r₂ = 1,4; r₃ = 1,41;

r₄ = 1,4142;...

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính:  $3^{r_1};3^{r_2};3^{r_3};3^{r_4}$ và  $3^{\sqrt{2}}$.

Rút gọn biểu thức:

 $A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\left(x,y>0\right)$.

Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa  $a^{\frac{m}{n}}$, với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho  $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$.

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa  $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho  ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$.

Tính: b)$\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}$  .

Tính:

a) Tính và so sánh:  $\sqrt[3]{-8}\cdot \sqrt[3]{27}$ và  $\sqrt[3]{\left(-8\right)\cdot 27}$.

Tính:

Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = − 8.

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg.

Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu x = a ∙ 10^m, ở đó 1 ≤ a < 10 và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

Tính: (1,5)²;  ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3$;  ${\left(\sqrt{2}\right)}^4$.

Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r vào mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:

A = P(1 + r)^N.

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.