33 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán lớp 11 – KNTT – Tập 2 Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Giải SGK Toán lớp 11 – KNTT – Tập 2 Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Đề số 1

Giải SGK Toán lớp 11 – KNTT – Tập 2 Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

219 lượt thi
33 câu hỏi
0 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r vào mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:

A = P(1 + r)^N.

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

Sau bài học, ta giải quyết được bài toán như sau:

Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là

100 ∙ (1 + 6%)³ = 119,1016 (triệu đồng).

Câu 2:

Tính: (1,5)²; ${(- \frac{2}{3})}^{3}$ ; ${(\sqrt{2})}^{4}$ .

Ta có: (1,5)²= 1,5 ∙ 1,5 = 2,25.

${(- \frac{2}{3})}^{3} = (- \frac{2}{3}) \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27}$ .

${(\sqrt{2})}^{4} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ .

Câu 3:

Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu x = a ∙ 10^m, ở đó 1 ≤ a < 10 và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

a) Ta có 5 980 000 000 000 000 000 000 000 = 5,98 ∙ 10²⁴.

Vậy khối lượng của Trái Đất khoảng 5, 98 ∙ 10²⁴ kg.

Câu 4:

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg.

b) Ta có 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 = 1,67262 ∙ 10^{– 27}.

Vậy khối lượng của hạt proton khoảng 1,67262 ∙ 10^{– 27} kg.

Câu 5:

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

a) Ta có 4 = 2² = (– 2)². Do đó, x² = 4, suy ra x² = 2² = (– 2)². Vậy x = ± 2.

Câu 6:

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = − 8.

b) Ta có: − 8 = (− 2)³. Do đó, x³ = − 8, suy ra x³ = (− 2)³. Vậy x = − 2.

Câu 7:

Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.

Câu 8:

Tính:

\sqrt[3]{- 125}

\sqrt[4]{\frac{1}{81}}

a, $\sqrt[3]{- 125} = \sqrt[3]{{(- 5)}^{3}} = - 5$

b, $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \sqrt[4]{{(\frac{1}{3})}^{4}} = \frac{1}{3}$

Câu 9:

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{- 8} \cdot \sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{(- 8) \cdot 27}$ .

a) Ta có $\sqrt[3]{- 8} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{3^{3}} = (- 2) \cdot 3 = - 6$

và $\sqrt[3]{(- 8) \cdot 27} = \sqrt[3]{{(- 2)}^{3} \cdot 3^{3}} = \sqrt[3]{{[(- 2) \cdot 3]}^{3}} = \sqrt[3]{{(- 6)}^{3}} = - 6$ .

Vậy $\sqrt[3]{- 8} \cdot \sqrt[3]{27}$ = $\sqrt[3]{(- 8) \cdot 27}$ .

Câu 10:

b) Tính và so sánh:

\frac{\sqrt[3]{- 8}}{\sqrt[3]{27}}

\sqrt[3]{\frac{- 8}{27}}

b) Ta có $\frac{\sqrt[3]{- 8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}}{\sqrt[3]{3^{3}}} = \frac{- 2}{3}$

và $\sqrt[3]{\frac{- 8}{27}} = \sqrt[3]{{(\frac{- 2}{3})}^{3}} = \frac{- 2}{3}$ .

Vậy $\frac{\sqrt[3]{- 8}}{\sqrt[3]{27}}$ = $\sqrt[3]{\frac{- 8}{27}}$ .

Câu 11:

Tính:

\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{625}

a, $\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{\frac{5}{625}} = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \sqrt[3]{{(\frac{1}{5})}^{3}} = \frac{1}{5}$

Câu 12:

Tính: b) $\sqrt[5]{- 25 \sqrt{5}}$ .

b, $\sqrt[5]{- 25 \sqrt{5}} = \sqrt[5]{- {(\sqrt{5})}^{5}} = \sqrt[5]{{(- \sqrt{5})}^{5}} = - \sqrt{5}$

Câu 13:

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho ${(a^{\frac{1}{n}})}^{n} = a$ .

a) Ta có ${(\sqrt[n]{a})}^{n} = a$ , mà ${(a^{\frac{1}{n}})}^{n} = a$ nên ${(a^{\frac{1}{n}})}^{n} = {(\sqrt[n]{a})}^{n}$ . Do đó, $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ .

Câu 14:

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}$ , với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{m}$ .

b) Ta có $a^{\frac{m}{n}} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{m}$ .

Theo câu a, ta có $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ nên $a^{\frac{m}{n}} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{m} = {(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .

Câu 15:

Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Ta có a > 0 thì a^m > 0 với mọi số nguyên m. Khi đó luôn tồn tại căn bậc n của a^m với n là một số nguyên dương. Do đó, $\sqrt[n]{a^{m}}$ luôn xác định. Vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta cần điều kiện cơ số a > 0.

Câu 16:

Rút gọn biểu thức:

$A = \frac{x^{\frac{3}{2}} y + x y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} (x, y > 0)$ .

Với x, y > 0, ta có $A = \frac{x^{\frac{3}{2}} y + x y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{x y (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} = x y$ .

Câu 17:

Ta biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và $\sqrt{2}$ = 1,4142135624...

Gọi (r_n) là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$ , với r₁ = 1; r₂ = 1,4; r₃ = 1,41;

r₄ = 1,4142;...

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: $3^{r_{1}}; 3^{r_{2}}; 3^{r_{3}}; 3^{r_{4}}$ và $3^{\sqrt{2}}$ .

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

$3^{r_{1}} = 3^{1} = 3$ ;

$3^{r_{2}} = 3^{1, 4} = 4, 655536722$ ;

$3^{r_{3}} = 3^{1, 41} = 4, 706965002$ ;

$3^{r_{4}} = 3^{1, 4142} = 4, 72873393$ ;

$3^{\sqrt{2}} = 4, 728804388$ .

Câu 18:

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ , tức là $|3^{\sqrt{2}} - 3^{r_{n}}|$ , khi n càng lớn?

b) Ta có:

$|3^{\sqrt{2}} - 3^{r_{1}}| = 4, 728804388 - 3 = 1, 728804388$ ;

$|3^{\sqrt{2}} - 3^{r_{2}}| = 4, 728804388 - 4, 655536722 = 0, 073267666$ ;

$|3^{\sqrt{2}} - 3^{r_{3}}| = 4, 728804388 - 4, 706965002 = 0, 021839386$ ;

$|3^{\sqrt{2}} - 3^{r_{4}}| = 4, 728804388 - 4, 72873393 = 0, 000070458$

Vậy sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$ là giảm dần khi n càng lớn.

Câu 19:

Rút gọn biểu thức:

$A = \frac{{(a^{\sqrt{2} - 1})}^{1 + \sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5} - 1} \cdot a^{3 - \sqrt{5}}} (a > 0)$ .

Với a > 0, ta có $A = \frac{{(a^{\sqrt{2} - 1})}^{1 + \sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5} - 1} \cdot a^{3 - \sqrt{5}}} = \frac{a^{(\sqrt{2} - 1) (1 + \sqrt{2})}}{a^{(\sqrt{5} - 1) + (3 - \sqrt{5})}} = \frac{a^{{(\sqrt{2})}^{2} - 1}}{a^{2}} = \frac{a^{1}}{a^{2}} = \frac{1}{a}$ .

Câu 20:

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là

100 ∙ (1 + 6%)³ = 119,1016 (triệu đồng).

Câu 21:

Tính:

{(\frac{1}{5})}^{- 2}

4^{\frac{3}{2}}

a) ${(\frac{1}{5})}^{- 2} = 5^{2} = 25$ .

b) $4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^{3}} = \sqrt{64} = 8$ .

Câu 22:

Tính:

c) ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}}$ ; d) ${(\frac{1}{16})}^{- 0, 75}$ .

c) ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{{(2^{3})}^{2}} = \sqrt[3]{{(2^{2})}^{3}} = 2^{2} = 4$ .

d)

{(\frac{1}{16})}^{- 0, 75} = 16^{0, 75} = 16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^{3}} = \sqrt[4]{{(2^{4})}^{3}} = \sqrt[4]{{(2^{3})}^{4}} = 2^{3} = 8

.

Câu 23:

Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{- 0, 75} - 25^{0, 5}$ ;

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{- 0, 75} - 25^{0, 5}$

$= {(3^{3})}^{\frac{2}{3}} + {(3^{4})}^{- \frac{3}{4}} - {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}$

= 3² + 3^{– 3}– 5

= 9 + $\frac{1}{27}$ – 5

= $\frac{109}{27}$ .

Câu 24:

Thực hiện phép tính:

b) $4^{2 - 3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}$ .

b) $4^{2 - 3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}$

$= {(2^{2})}^{2 - 3 \sqrt{7}} \cdot {(2^{3})}^{2 \sqrt{7}}$

$= 2^{4 - 6 \sqrt{7}} \cdot 2^{6 \sqrt{7}}$

$= 2^{4 - 6 \sqrt{7} + 6 \sqrt{7}} = 2^{4} = 16$ .

Câu 25:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{x^{5} y^{- 2}}{x^{3} y} (x, y \neq 0)$ ;

a, $A = \frac{x^{5} y^{- 2}}{x^{3} y} = \frac{x^{5 - 3}}{y^{1 + 2}} = \frac{x^{2}}{y^{3}}$

Câu 26:

Rút gọn các biểu thức sau:

b) $B = \frac{x^{2} y^{- 3}}{{(x^{- 1} y^{4})}^{- 3}} (x, y \neq 0)$ .

b, $B = \frac{x^{2} y^{- 3}}{{(x^{- 1} y^{4})}^{- 3}} = \frac{x^{2} y^{- 3}}{{(x^{- 1})}^{- 3} {(y^{4})}^{- 3}} = \frac{x^{2} y^{- 3}}{x^{3} y^{- 12}} = x^{2 - 3} y^{- 3 - (- 12)} = x^{- 1} y^{9} = \frac{y^{9}}{x}$

Câu 27:

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$ ;

a, $A = \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}} = \frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Câu 28:

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

b) $B = {(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3} - 1}})}^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}}$ .

b, $B = {(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3} - 1}})}^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}} = \frac{x^{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)}}{y^{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}} = \frac{x^{3 + \sqrt{3}}}{y^{2}} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}}$

$= \frac{x^{3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}}{y^{2 + (- 2)}} = \frac{x^{2}}{y^{0}} = x^{2}$

Câu 29:

Chứng minh rằng:

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = 2$ .

Ta có $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = \sqrt{1 + 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}} - \sqrt{1 - 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

$= \sqrt{{(1 + \sqrt{3})}^{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}$ $= (1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 2$ (do $1 - \sqrt{3} < 0$ ).

Câu 30:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6 \sqrt{3}}$ và $5^{3 \sqrt{6}}$ ;

a) Ta có $6 \sqrt{3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}$ và $3 \sqrt{6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$ .

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108} > \sqrt{54}$ hay $6 \sqrt{3} > 3 \sqrt{6}$ .

Lại có 5 > 1 nên $5^{6 \sqrt{3}}$ > $5^{3 \sqrt{6}}$ .

Câu 31:

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

b) ${(\frac{1}{2})}^{- \frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

b) Ta có ${(\frac{1}{2})}^{- \frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{7}{6}}$ .

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3} = \frac{8}{6} > \frac{7}{6}$ nên $2^{\frac{4}{3}} > 2^{\frac{7}{6}}$ , tức là ${(\frac{1}{2})}^{- \frac{4}{3}}$ > $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

Câu 32:

Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

$A = P {(1 + \frac{r}{n})}^{N}$ .

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Ta có P = 120, r = 5% = 0,05.

Do bác An gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong một năm, tức là n = 2. Sau 2 năm thì ta được 4 lần tính lãi nên N = 4.

Vậy số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm là

$120 \cdot {(1 + \frac{0, 05}{2})}^{4} \approx 132, 46$ (triệu đồng).

Câu 33:

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$ . Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Thay t = 20 vào công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$ ta được

$A = 19 \cdot 2^{\frac{20}{30}} \approx 30$ (triệu người).

Vậy sau 20 năm nữa kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là khoảng 30 triệu người.

Bắt đầu thi ngay