Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời mọc ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức:

Cho tanx = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị của biểu thức tan3α +cot3α.

b) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{4}.$ Tính giá trị của sinαcosα.

c) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}.$Tính giá tị của biểu thức sin3α + cos3α.

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin 17°sin197° + sin73°cos163°;

Rút gọn các biểu thức sau:

Chứng minh các đẳng thức sau:

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

Biết $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{3\sin \alpha }{2cos\alpha -\tan \alpha };$

b) $B=\frac{{\cot }^2\alpha -\sin \alpha }{\tan \alpha +2cos\alpha }.$

Cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}.$ Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a) cos(α + π);

Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ (hoặc từ 0° đến 45°).

a) sin(‒1693°);

b) $cos\frac{1003\pi }{3};$

c) tan 885°;

d) $\cot \left(-\frac{53\pi }{10}\right).$

Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:

Trong chặng đua nước rút, bánh xe của một vận động viên đua xe đạp quay được 30 vòng trong 8 giây. Chọn chiều quay của bánh xe là chiều dương. Xét van V của bánh xe.

a) Sau 1 phút, van V đó quay được một góc có số đo là bao nhiêu radian?

b) Biết rằng bán kính của bánh xe là 35 cm. Độ dài quãng đường mà vận động viên đua xe đạp đã đi được trong một phút là bao nhiêu mét?

Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 175 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều dương.

a) Sau 5 giây cánh quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

b) Sau thời gian bao lâu cánh quạt quay được một góc có số đo 42π?

Cho ba điểm M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của các góc lượng giác có số đo k2π; $\frac{\pi }{2}+k2\pi ;$π + k2π (k ∈ ℤ). Tam giác MNP là tam giác gì?

Trong hình bên, các điểm M, A’, N tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều. Vị trí các điểm M, A’, N trên đường tròn lượng giác có thể được biểu diễn cho góc lượng giác nào sau đây?$\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right);-\pi +k\frac{2\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right);-\frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right).$

Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:

a) Góc lượng giác ‒245° có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

‒605°; ‒65°; 115°; 205°; 475°.

b) Góc lượng giác $\frac{24\pi }{5}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây?

$\frac{-16\pi }{5};\frac{-\pi }{5};\frac{14\pi }{5};\frac{29\pi }{5};\frac{53\pi }{10}.$

Biểu diễn các góc sau trên đường tròn lượng giác:

Viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác (Om, On) dưới dạng a° + k360° (k ∈ ℤ), với 0 ≤ a < 360°, biết một góc lượng giác với tia đầu Om, tia cuối On có số đo:

a) 1935°;                 b) ‒450°;                 c) ‒1440°;                       d) 754,5°

Cho một góc lượng giác có số đo là 375°.

a) Tìm số lớn nhất trong các số đo của góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó mà có số đo âm;

b) Tìm số nhỏ nhất trong các số đo của góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó mà có số đo dương.

Hãy tìm số đo α của góc lượng giác (Om, On), với ‒π ≤ α < π, biết một góc lượng giác cùng tia đầu Om và tia cuối On có số đo là:

a) $\frac{36\pi }{5};$           b) $\frac{-75\pi }{14};$                c) $\frac{39\pi }{8};$                           d) 2023π.

Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:

Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

b) Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.

Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất P để chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó:  $P=\log \frac{d+1}{d}$. (Theo F.Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), 551 – 572).

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng 4,6% (thay d = 9 trong công thức Benford để tính P).

a) Viết công thức tìm chữ số d nếu cho trước xác suất P.

b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi N₀ là số lượng vi khuẩn ban đầu và N(t) là số lượng vi khuẩn sau t giờ thì ta có:

N(t) = N₀e^rt,

trong đó r là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ.

Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Hỏi:

a) Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?

c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là r% một năm thì tổng số tiền P ban đầu, sau n năm số tiền đó chỉ còn giá trị là

 $A=P\cdot {\left(1-\frac{r}{100}\right)}^n$.

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

b) y = ln(1 – lnx).

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a)  $y=\sqrt{4^x-2^{x+1}}$;

Giải các phương trình sau:

b) log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2.

Giải các phương trình sau:

a) 3^{1 – 2x} = 4^x;

Cho 0 < a ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức  $B={\log }_a\left(\frac{a^2\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right)+a^{2{\log }_a\frac{\sqrt{105}}{30}}$.

Cho đồ thị ba hàm số y = log_ax, y = log_bx và y = log_cx như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

Cho hàm số y = 2^x. Khẳng định nào sau đây là sai?