Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo p (tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn d (tính bằng đơn vị thiên văn AU).

a) Tính p theo d.

Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài L (tính bằng mét) được cho bởi $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{9,8}}$  . Nếu một con lắc có chiều dài 19,6 m, hãy tính chu kì T của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó số vi khuẩn N sau t (giờ) sẽ là $N=100\cdot 2^{\frac{t}{2}}$ (con). Hỏi sau $3\frac{1}{2}$  giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Cho a và b là số dương, a ≠ b. Rút gọn biểu thức sau:

$A=\left[\frac{a-b}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{4}}}-\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}\right]:\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)$.

Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

c)  $a^{-\sqrt{3}}:a^{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}$;     d) $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[12]{a^5}$ .

Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left(a^{\sqrt{6}}\right)}^{\sqrt{24}}$  ;                                          b) $a^{\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}$  ;

Rút gọn các biểu thức sau:

b, $8xy-\sqrt{25x^2{y}^2}+\sqrt[3]{8x^3{y}^3}$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{12}-3\sqrt{27}+2\sqrt{48}$ ;             

Rút gọn các biểu thức sau:

So sánh cơ số a (a > 0) với 1, biết rằng:

b) $a^{\frac{11}{6}}<a^{\frac{15}{8}}$  .

So sánh cơ số a (a > 0) với 1, biết rằng:

a) $a^{\frac{3}{4}}>a^{\frac{5}{6}}$  ;

Tính:

c) ${32}^{-\frac{2}{5}}$    d) ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}$  .

Tính:

Cường độ của một trận động đất, kí hiệu là M (độ Richter), được cho bởi công thức M = logA – logA₀, ở đó A là biên độ rung chấn tối đa đo được bằng địa chấn kế và A₀ là biên độ chuẩn (hằng số phụ thuộc vào từng khu vực).

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/Độ_Richter)

Vào hồi 12 giờ 14 phút trưa ngày 27/07/2020, tại khu vực huyện Mộc Châu, Sơn La xảy ra trận động đất thứ nhất với cường độ 5,3 độ Richter. Trong vòng 20 tiếng đồng hồ, Sơn La đã xảy ra liên tiếp 7 trận động đất. Đến 8 giờ 26 phút sáng 28/07/2020, trận động đất thứ bảy xảy ra với cường độ 4 độ Richter.

Với nước biển có nồng độ muối 30%, nhiệt độ T (^oC) của nước biển được tính bởi công thức T = 7,9ln(1,0245 – d) + 61,84, ở đó d (g/cm³) là khối lượng riêng của nước biển.

(Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage)

Biết vùng biển khơi mặt ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là 8 °C. Tính khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục nghìn).

Số lượng của một loài vi khuẩn sau x giờ được tính bởi công thức f(x) = Ae^rx, trong đó, A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0). Biết số vi khuẩn ban đầu là 1 000 con và sau 10 giờ tăng trưởng thành 5 000 con.

a) Tính tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn.

b) Hỏi sau khoảng bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho b > 0 và $b^{\frac{2}{3}}=a.$  Viết b²; $\sqrt{a}\cdot b;$$\frac{a^6}{b^3}$    theo luỹ thừa cơ số a.

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{\sqrt{x}}>1$  là:

A. (0; +∞);

B. [0; +∞);

C. ℝ;

D. ℝ \ {0}.

Nghiệm của phương trình ${\log }_5\left(2x-3\right)-{\log }_{\frac{1}{5}}\left(2x-3\right)=0$  là

A. $x=\frac{3}{2};$

B. x = 8;

C. x = 2;

D. x = 1.

Nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}x=-2$  là:

A. $x=-\frac{1}{9};$

B. $x=\frac{1}{9}.$

C. x = 9;

D. x = – 9.

Nghiệm của phương trình $0,5^x={\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3}$  là:

A. x = 3;

B. x = 1;

C. x = – 3;

D. x = – 1.

Nghiệm của phương trình 3^{x – 1} = 1 là:

A. x = 1;

B. x = 0;

C. x = 2;

D. x = – 1.

Nếu log₁₂6 = a thì log₂6 bằng:

A. $\frac{a}{1+a};$

B. $\frac{2a}{1-a};$

C. $\frac{a}{1-a};$

D. $\frac{2a}{1+a}.$

Nếu log2 = a thì log 4 000 bằng:

A. 2a + 3;

B. 3a²;

C. $\frac{1}{2}a+3;$

D. a² + 3.

Nếu ${\log }_4\sqrt{a}=16$  thì log₄a bằng:

A. 32;

B. 256;

C. 8;

D. 4.

Giá trị của log₂9 – log₂36 bằng:

A. 2;

B. 4;

C. – 4;

D. – 2.

Tập xác định của hàm số log₂(x – 1) là:

A. [1; +∞);

B. [1; +∞) \ {2};

C. (1; +∞);

D. (0; +∞).

Rút gọn biểu thức $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$   với x ≥ 0 nhận được:

A. $\sqrt[6]{x};$

B. $x^{\frac{1}{5}};$

C. $\sqrt[5]{x};$

D. $x^{\frac{1}{6}}.$

Nếu $\sqrt[6]{x}=a$  thì $\sqrt{x}$  bằng:

A. $\sqrt[3]{a};$

B. $\sqrt[4]{a};$

C. a³;

D. a⁴.

Nếu 2^x = 3 thì 4^x bằng:

A. 6;

B. 9;

C. 12;

D. 8.