Cho điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0$; ${\Delta }_2:x-\frac{a}{e}=0$ (Hình 7).

Gọi d(M; Δ₁), d(M; Δ₂) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ₁, Δ₂.

Ta có: $\frac{M{F}_1}{d(M;{\Delta }_1)}=\frac{|a+ex|}{|x+\frac{a}{e}|}=\frac{|a+ex|}{\frac{|a+ex|}{e}}=e$.

Dựa theo cách tính trên, tính $\frac{M{F}_2}{d(M;{\Delta }_2)}$.

Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$;

b) $\left(H_2\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1$;

c) $\left(H_3\right):\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3}=1$.

Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Chứng tỏ rằng $\frac{c}{a}>1$.

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

a) Chứng minh rằng F₁M2 – F₂M2 = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₁(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₂ – MF₁ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=-2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=-a-\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=a-\frac{c}{a}x.$

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₂(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₁ – MF₂ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=a+\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=-a+\frac{c}{a}x.$

Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình:$\frac{x^2}{400}-\frac{y^2}{100}=1.$

Viết phương trình chính tắc của hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của hypebol này.

Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và điểm M(x₀; y₀) nằm trên (H). Các điểm M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) có thuộc (H) không?

Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho NF₁ = NF₂.

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho SF₁ = 2SF₂.

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 169/6.

Tìm các điểm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.

Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E).

b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E).

c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3.

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a) $\left(E_1\right):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$;

b) $\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$.

Cho điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0$; ${\Delta }_2:x-\frac{a}{e}=0$  (Hình 10). Gọi d(M; Δ₁), d(M; Δ₂) lần lượt là khoảng cách từ M đến Δ₁, Δ₂. Ta có $d(M;{\Delta }_1)=|x+\frac{a}{e}|=\frac{|a+ex|}{e}=\frac{a+ex}{e}$ (vì e > 0 và $a+ex=M{F}_1>0$). Suy ra $\frac{M{F}_1}{d(M;{\Delta }_1)}=\frac{a+ex}{\frac{a+ex}{e}}=e$.

 

Dựa theo cách tính trên, hãy tính $\frac{M{F}_2}{d(M;{\Delta }_2)}$.

a) Tìm tâm sai của elip (E): $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{99}=1$ và elip$(E\text{'}):\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{1}=1$.

b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng "dẹt" hơn?

Cho biết ti số e = c/a của các elip lần lượt là 3/4, 1/2, 1/4 (Hình 8). Tính tỉ số b/a theo e và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi e thay đổi.

Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).

Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cắt hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

b) Tìm các điểm trên elip $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) (Hình 6).

a) Tính F₁M2 và F₂M2 theo x, y, c.

b) Chứng tỏ rằng: F₁M2 – F₂M2 = 4cx, F₁M – F₂M = $2\frac{cx}{a}.$

c) Tính độ dài hai đoạn MF₁ và MF₂ theo a, c, x.

Hãy gấp một mảnh giấy có hình clip (Hình 5) thành bốn phần chồng khít lên nhau.

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\dots +2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n=3^n;$

b) $C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\dots +C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\dots +C_{2n}^{2n-1}.$

Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần.

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1,026.

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶.

Tìm hệ số của x³ trong khai triển:

a) (1 – 3x)⁸;

b) ${(1+\frac{x}{2})}^7$.

Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1 l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu a_n là lượng nước có trong bình sau bước $n(n\in {\mathbb{N}}^{*})$.

a) Tính a₁, a₂, a₃. Từ đó dự đoán công thức tính a_n với n $\in {\mathbb{N}}^{*}.$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Chứng minh rằng với mọi n $\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) 3n – 1 – 2n chia hết cho 4;

b) 7n – 4n – 3n chia hết cho 12.

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

a) $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$;

b) $1.4+2.7+3.10+\dots +n(3n+1)=n{(n+1)}^2$;

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\dots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$.

Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một,

a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào?

b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?