Hướng dẫn giải

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (H) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}-\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$ nên các điểm có toạ độ M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (H).

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hypebol kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6, suy ra 2a = 8, 2b = 6, suy ra a = 4 và b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Có $c^2=a^2+b^2$ = 42 + 32 = 25, suy ra c = 5.

Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–4; 0) và A₂(4; 0).

Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–5; 0) và F₂(5; 0).

Tiêu cự của hypebol là 2c = 10.

Độ dài trục thực là 2a = 8, độ dài trục ảo là 2b = 6.

Hướng dẫn giải

Khi x = 40 thì $\frac{{40}^2}{400}-\frac{y^2}{100}=1\Rightarrow \frac{y^2}{100}=3\Rightarrow y^2=300\Rightarrow [\begin{array}{l}y=10\sqrt{3}\\ y=-10\sqrt{3}\end{array}$

=> Bề rộng của thảm nhiễu là $20\sqrt{3}$ (mile)

=> Cao độ của máy bay là $\frac{20\sqrt{3}}{5}=4\sqrt{3}$ ≈ 6,93 (mlie)

Vậy cao độ của máy bay là khoảng 6,93 dặm.

Hướng dẫn giải

Có $a^2 = 64, b^2$ = 36, suy ra a = 8, b = 6, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là:

MF₁ = $|a+\frac{c}{a}x|=|8+\frac{10}{8}x|=|8+\frac{5}{4}x|;$ MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|8-\frac{10}{8}x|=|8-\frac{5}{4}x|.$

Hướng dẫn giải

Độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) là:

A₂F₁ = $|a+\frac{c}{a}x|=|a+\frac{c}{a}a|=|a+c|=a+c$ (vì a + c > 0 );

A₂F₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|a-\frac{c}{a}a|=|a-c|=c-a$ (vì a – c < 0).

Hướng dẫn giải

Có $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>\sqrt{1}=1.$

Hướng dẫn giải

a) Có $a^2 = 4, b^2 = 1$, suy ra a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

=> tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

b) Có $a^2 = 9, b^2 = 25$, suy ra a = 3, b = 5, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{31}$

=> tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{31}}{3}.$

c) Có $a^2 = 3, b^2 = 3$, suy ra a =$\sqrt{3},$ b =$\sqrt{3},$ c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}$

=> tâm sai của hypebol là e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Giả sử hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}\Rightarrow$$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{2}\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{a^2}=2\Rightarrow a^2+b^2=2a^2\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=b\Rightarrow 2a=2b.$

Vậy trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm F₂ của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.

Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Gọi toạ độ của vật thể là M(x; y).

Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$ = ex – a ≥ ea – a (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục Ox nên x ≥ a).

Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea – a

=> ea – a = 2 . 108 => 1,2a – a = 2 . 108 => a = 109 =>c = ea = 1,2 . 109

$\Rightarrow b^2=c^2-a^2={(1,{2.10}^9)}^2-{\left({10}^9\right)}^2=0,{44.10}^{18}.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{{10}^{18}}-\frac{y^2}{0,{44.10}^{18}}=1.$

b) Bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:

MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$ = |109 – 1,2x| (km).

Hướng dẫn giải

Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a}{e}=0.$ Với mỗi điểm M(x; y) thuộc hypebol, ta có: $d(M,{\Delta }_2)=\frac{|x+0y-\frac{a}{e}|}{\sqrt{1^2+0^2}}=|x-\frac{a}{e}|.$

suy ra $\frac{M{F}_2}{d(M,{\Delta }_2)}=\frac{|a-ex|}{|x-\frac{a}{e}|}=\frac{|a-ex|}{\left|\frac{xe-a}{e}\right|}=e.$

Hướng dẫn giải

a) Có $a^2 = 4, b^2 = 1$, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

=> Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1(-\sqrt{5};0)$ và $F_2(\sqrt{5};0).$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{4}{\sqrt{5}}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{4}{\sqrt{5}}=0.$

b) Có $a^2 = 36, b^2 = 64$, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36+64}=10$

=> Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1(-10;0)$ và $F_2(10;0).$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{36}{10}=0\iff x+\frac{18}{5}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{36}{10}=0\iff x-\frac{18}{5}=0.$

c) Có $a^2 = 9, b^2 = 9$, suy ra c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$

=> Hai tiêu điểm của hypebol là $F_1(-3\sqrt{2};0)$ và $F_2(3\sqrt{2};0).$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{9}{3\sqrt{2}}=0\iff x+\frac{3}{\sqrt{2}}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{9}{3\sqrt{2}}=0\iff x-\frac{3}{\sqrt{2}}=0.$

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 26, suy ra c = 13.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{288}{13}$$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{144}{13}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{144}{13}\Rightarrow \frac{a^2}{13}=\frac{144}{13}\Rightarrow a^2=144\Rightarrow b^2=c^2-a^2={13}^2-144=25.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1.$

Hướng dẫn giải

a) Có $a^2 = 144, b^2 = 25$ => a = 12, b = 5, $c=\sqrt{a^2+b^2}=13.$

Tâm sau của (H) là e = $\frac{c}{a}=\frac{13}{12}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(13;\frac{25}{12})$ là:

MF₁ = $|a+\frac{c}{a}x|=|12+\frac{13}{12}.13|=\frac{313}{12};$  

MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|12-\frac{13}{12}.13|=\frac{25}{12}.$

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0) và F₂(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{144}{13}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là${\Delta }_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{144}{13}=0.$

c) NF₁ = $|a+\frac{c}{a}x|;$ NF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|.$

NF₁ = 2NF₂ $\iff |a+\frac{c}{a}x|=2|a-\frac{c}{a}x|\iff [\begin{array}{l}a+\frac{c}{a}x=2(a-\frac{c}{a}x)\\ a+\frac{c}{a}x=2(\frac{c}{a}x-a)\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}a=3\frac{c}{a}x\\ 3a=\frac{c}{a}x\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{a^2}{3c}=\frac{144}{3.13}=\frac{48}{13}\\ x=\frac{3a^2}{c}=\frac{3.144}{13}=\frac{432}{13}\end{array}.$

+) x = 48/13 loại vì 0 < x < a.

+) x = 432/13 thì $\frac{{\left(\frac{432}{13}\right)}^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\Rightarrow y^2=\frac{32400}{169}\Rightarrow [\begin{array}{l}y=\frac{180}{13}\\ y=-\frac{180}{13}\end{array}.$

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N_{1$(\frac{432}{13};\frac{180}{13})$} và N_{2$(\frac{432}{13};-\frac{180}{13}).$}

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng 26, suy ra 2c = 20, suy ra c = 10.

+) Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{36}{5}$$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{18}{5}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{18}{5}\Rightarrow \frac{a^2}{10}=\frac{18}{5}\Rightarrow a^2=36\Rightarrow b^2=c^2-a^2={10}^2-36=64.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1.$

Hướng dẫn giải

a) Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C);

I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C).

Vì F₂ nằm ngoài (C) nên (C') tiếp xúc ngoài với (C) hoặc (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').

+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì r' + r = IF₁ => IF₂ + r = IF₁ => IF₁ – IF₂ = r

+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C') thì r' – r = IF₁ => IF₂ – r = IF₁

=> IF₂ – IF₁ = r.

Vậy ta luôn có |IF₂ – IF₁| = r trong cả hai trường hợp

=> I nằm trên hypebol có hai tiêu điểm là F₁, F₂ và độ dài trục thực là r.

b) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F₁F₂ và F₁, F₂ đều nằm trên trục Ox.

Giả sử phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = r/2

F₁F₂ = 4r, suy ra c = 2r, suy ra $b^2=c^2-a^2={\left(2r\right)}^2-{\left(\frac{r}{2}\right)}^2=\frac{15r^2}{4}.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol này là $\frac{x^2}{\frac{r^2}{4}}-\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}=1.$

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với tiêu điểm của F₁F₂, đơn vị trên các trục là km.

Giả sử phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Gọi t₁ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F₁; t₂ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm F₂, v là vận tốc sóng vô tuyến.

Theo đề bài ta có: |t₁ – t₂| = 0,0012

=>|vt₁ – vt₂| = 0,0012v = 0,0012 . 300000 = 360 (km)

=>|MF₁ – MF₂| = 360 với mọi vị trí của M

=> 2a = 360 => a = 180.

Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km => 2c = 600 => c = 300

$\Rightarrow b^2=c^2-a^2={300}^2-{180}^2=57600.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^2}{32400}-\frac{y^2}{57600}=1.$