Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một

Giải Toán 9 Luyện tập trang 116

Video Giải Bài 30 trang 116 Toán lớp 9 tập 1

Bài 30 trang 116 Toán lớp 9 tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{COD}={90}^o$.

b) $CD=AC+BD$.

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Lời giải:

Theo đề bài, ta có:

$OA\perp Ax, OB\perp By$

Do đó, Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn lần lượt tại A và B

Vì CA, CM là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại A và M, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: CM = CA và $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Vì DB, DM là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại B và M, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: DM = DB và $\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$

a)

Ta có:

$\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}={180}^o$

$\iff \widehat{O_2}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_3}={180}^o$ (do $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}, \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$)

$$\begin{gathered} \iff 2\widehat{O_2}+2\widehat{O_3}={180}^o \\ \iff \widehat{O_2}+\widehat{O_3}={90}^o \\ \iff \widehat{COD}={90}^o \end{gathered}$$

b)

Ta có: CM = AC, MD = BD (chứng minh trên)

Lại có: CD = CM + MD = AC + BD (đcpcm)

c)

Ta có: CM = AC, MD = BD (chứng minh trên)

Xét tam giác COD vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

$M{O}^2=MC.MD=AC.BD=R^2$ (do MO = R)

Vì bán kính đường tròn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn nên  không đổi do đó tích AC. BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 31 trang 116 Toán 9 Tập 1: Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O)...

Bài 32 trang 116 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn...