Câu hỏi:
01/10/2026 7
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi là một vectơ pháp tuyến của (α) và M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc (α).
a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có mối quan hệ gì?
b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi là một vectơ pháp tuyến của (α) và M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc (α).
a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có mối quan hệ gì?
b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
\(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (α) nên \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_0}M} \).
Suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M} = \overrightarrow 0 \) Û A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Vậy một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) vuông góc với nhau.
b) Từ câu a, ta có A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Û Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0
Û Ax + By + Cz = D (trong đó D = Ax0 + By0 + Cz0).
Vậy điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức Ax + By + Cz = D trong đó \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) và D = Ax0 + By0 + Cz0.
a) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
\(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (α) nên \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_0}M} \).
Suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M} = \overrightarrow 0 \) Û A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Vậy một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) vuông góc với nhau.
b) Từ câu a, ta có A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Û Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0
Û Ax + By + Cz = D (trong đó D = Ax0 + By0 + Cz0).
Vậy điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức Ax + By + Cz = D trong đó \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) và D = Ax0 + By0 + Cz0.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0.
Câu 2:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.
Câu 3:
Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Câu 4:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).
a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).
a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').
Câu 6:
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0.
Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Câu 9:
Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?
Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?
Câu 10:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Câu 11:
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến , giá của vectơ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương gì? (H.5.1)
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến , giá của vectơ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương gì? (H.5.1)
Câu 12:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và biết cặp vectơ chỉ phương , .
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
b) Viết phương trình mặt phẳng (α).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và biết cặp vectơ chỉ phương , .
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
b) Viết phương trình mặt phẳng (α).
Câu 13:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0 và (β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0.
a) Hỏi (α) và (β) có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh rằng điểm M(1; −3; 5) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; −3; 5) và song song với (α).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0 và (β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0.
a) Hỏi (α) và (β) có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh rằng điểm M(1; −3; 5) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; −3; 5) và song song với (α).
Câu 14:
(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Câu 15:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
