Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng D và D' tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {a';b';c'} \right)\)(H.5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (D, D') và \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\).

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa cos(D, D') và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\)?

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-2}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D và mặt phẳng (P). Xét \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ chỉ phương của D và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) (với giá D') là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (D, (P)) và (D, D').

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa sin(D, D') và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\)?

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P), với: $\Delta :\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{1}$, (P): x – y + z – 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): $x-\sqrt{2}y+z-2=0$ và (Oxz): y = 0.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=2+3t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}{1}=\frac{z-2}{2}$.

Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0.

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.

a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên).

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?