Tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\sqrt{2}}(x-2) + {\log }_2{(x-4)}^2 = 0$ bằng

Tính giá trị của biểu thức $$\begin{gathered} P=\ln \left(2\cos 1^0\right).\ln \left(2\cos 2^0\right) \\ .\ln \left(2\cos 3^0\right)...\ln \left(2\cos {89}^0\right) \end{gathered}$$ với tích đã cho bao gồm 89 thừa số có dạng $\ln \left(2\cos a^0\right)$ với $1\le a \le 89$ và $a\in Z$

Cho x  là số thực lớn hơn 1  và thỏa mãn ${\log }_2( {\log }_{4}x) = {\log }_4\left({\log }_{2}x\right) +a$, với $a \in R$.  Tính $P = {\log }_{2}x$

Từ phương trình ${(3+ 2\sqrt{2})}^x-2{( \sqrt{2}-1)}^x=3$ đặt $t = {(\sqrt{2}-1)}^x$ ta thu được phương trình nào sau đây?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $9^x -(m-1). 3^x+2m =0$ có nghiệm duy nhất

Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{9}x= {\log }_{6}y = {\log }_4(x +y)$ và $\frac{x}{y}= \frac{-a+\sqrt{b}}{2}$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính tổng T = a+b

Cho ${\log }_{a}x=-1, {\log }_{a}y = 4$  Tính $P = {\log }_a\left(x^2{y}^3\right)$

Cho phương trình $$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{2}}(mx -6x^3) \\ +2{\log }_{\frac{1}{2}}(-14x^2+29x-2) =0 \end{gathered}$$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

Cho ${\log }_{3}15=a$ ; ${\log }_{3}10=b$ và ${\log }_{\sqrt{3}}50 = ma + nb +p$ Khẳng định nào sau đây đúng?

Tổng lập phương các nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x. {\log }_3(2x -1) = 2{\log }_{2}x$ bằng

Phương trình ${\log }_{2018}x +{\log }_{2019}x =0$ có bao nhiêu nghiệm?

Tập nghiệm của bất phương trình $x^{\ln x}+ e^{{\ln }^{2}x} \le 2 e^4$ có dạng S = [a; b]. Tích a.b bằng

Cho a, b, c  là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của các hàm số $y = {\log }_{a}x$, $y = {\log }_{b}x$ và  $y = {\log }_{c}x$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho $a = {\log }_{2}m$ và $A = {\log }_{m}8m$, với $0 < m \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\ln ( \frac{1-2x}{x+y})= 3x+y-1$ Tính giá trị nhỏ nhất $P_{min}$ của biểu thức $P = \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$ 

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left({\log }_3\frac{2x+1}{x-1}\right)>0$